Elektromanyetik Teori · 3. Ünite: Potansiyeller (Özel Teknikler)
Değişkenlerine Ayırma Yöntemi
Yük dağılımının serbest olmadığı, yalnızca sınırlardaki potansiyelin bilindiği problemlerde Laplace denklemi $\nabla^2 V = 0$ nasıl çözülür? Değişkenlerine ayırma (separation of variables) yöntemi, kısmi diferansiyel denklemi her biri tek değişkenli adi diferansiyel denklemlere indirger; sınır koşullarını ise Fourier (ya da Legendre) serisinin ortogonalliği ile uydurur. Bu konuda dikdörtgen kutuda ve küresel koordinatlarda çözümü baştan kuracak, katsayıları Fourier hilesiyle (Fourier's trick) hesaplayacak, eksenel simetrili örnekleri çözecek ve serinin neden kutunun içinde hızlı, sınırda ise yavaş (Gibbs olayıyla) yakınsadığını göreceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Kartezyen koordinatlarda $V(x,y) = X(x)Y(y)$ varsayımıyla Laplace denklemini iki adi diferansiyel denkleme ayırır ve ayırma sabitinin işaretini sınır koşullarına bakarak seçer.
- Üç duvarı topraklı, bir duvarı $V_0$ potansiyelinde olan dikdörtgen kutu için $V(x,y)=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n\,\text{tek}} \frac{1}{n}\sin\frac{n\pi x}{a}\frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)}$ çözümünü adım adım türetir.
- Fourier hilesini (sinüslerin ortogonalliği) kullanarak verilen herhangi bir sınır profili $f(x)$ için $c_n$ katsayılarını integralle hesaplar.
- Küresel koordinatlarda eksenel simetrik Laplace denkleminin genel çözümünü $V=\sum_l (A_l r^l + B_l r^{-(l+1)})P_l(\cos\theta)$ biçiminde yazar, Legendre polinomlarının ortogonalliği ile iç ve dış bölge katsayılarını bulur.
- Yüzeyi $\pm V_0$ yarım küreler olan küre ile düzgün alandaki topraklı iletken küre gibi problemleri çözer; uzak alanın $1/r^{l_0+1}$ davranışını ve yüzey yük yoğunluğunu yorumlar.
- Kısmi toplamın yakınsama hızını (sınırda $1/n$, içeride $e^{-n\pi d/a}$) ve Gibbs taşmasını (kare dalgada yaklaşık %17,9) açıklar.
Konu anlatımı
Motivasyon: Sınır Değer Problemleri ve Eşsizlik
Kartezyen Koordinatlarda Ayırma
Dikdörtgen Kutuda Sınır Değer Problemi ve Fourier Hilesi
Küresel Koordinatlarda Ayırma ve Legendre Polinomları
Çözümlü Örnekler
Yakınsama, Gibbs Olayı ve Yorumlama
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Sonraki Konularla Bağlantı
Anahtar terimler
- Değişkenlerine Ayırma (Separation of Variables)
- Kısmi diferansiyel denklemin çözümünü $V=X(x)Y(y)$ gibi tek değişkenli fonksiyonların çarpımı olarak arayıp her değişken için ayrı adi diferansiyel denklem elde etme yöntemi.
- Ayırma Sabiti (Separation Constant)
- Her biri farklı bir değişkene bağlı iki terimin toplamı sıfır olduğunda ikisinin de eşit olduğu sabit ($\mp k^2$ ya da $l(l+1)$); işareti ve izinli değerleri sınır koşulları belirler.
- Sınır Değer Problemi (Boundary Value Problem)
- Bölgenin sınırındaki potansiyel (Dirichlet) ya da türevi (Neumann) verilip bölge içinde diferansiyel denklemin çözülmesi problemi; Laplace denklemi için çözüm eşsizdir.
- Fourier Hilesi (Fourier's Trick)
- Seriyi bir taban fonksiyonu ile çarpıp tüm aralıkta integre ederek ortogonallik sayesinde yalnızca tek bir katsayıyı bırakma yöntemi: $c_n=\frac{2}{a}\int_0^a f(x)\sin\frac{n\pi x}{a}\,dx$.
- Ortogonallik (Orthogonality)
- $\int_0^a \sin\frac{n\pi x}{a}\sin\frac{n'\pi x}{a}dx=\frac{a}{2}\delta_{nn'}$ ve $\int_{-1}^{1}P_lP_{l'}dx=\frac{2}{2l+1}\delta_{ll'}$ gibi, farklı indisli taban fonksiyonlarının iç çarpımının sıfır olması.
- Legendre Polinomları (Legendre Polynomials)
- Eksenel simetrik Laplace denkleminin açısal çözümü olan, $x=\cos\theta\in[-1,1]$ üzerinde ortogonal $P_l(x)$ polinomları; $P_0=1$, $P_1=x$, $P_2=\frac{1}{2}(3x^2-1)$.
- Eksenel Simetri (Azimuthal Symmetry)
- Potansiyelin $\phi$ açısından bağımsız olması; Laplace denklemi yalnız $r$ ve $\theta$ içerir ve genel çözüm $\sum_l (A_l r^l + B_l r^{-(l+1)})P_l(\cos\theta)$ olur.
- Gibbs Olayı (Gibbs Phenomenon)
- Süreksiz bir fonksiyonun Fourier kısmi toplamlarının süreksizlik yakınında sıçrama büyüklüğünün yaklaşık %8,95'i kadar taşması; terim sayısı artınca taşma bölgesi daralır ama yüksekliği azalmaz.
- Eşsizlik Teoremi (Uniqueness Theorem)
- Bir bölgenin tüm sınırında potansiyel (ya da iletkenlerde toplam yük) verilmişse Laplace/Poisson denkleminin çözümünün tek olması; herhangi bir yolla bulunan geçerli çözüm doğru çözümdür.
- Kısmi Toplam (Partial Sum)
- Sonsuz serinin ilk $N$ teriminin toplamı; yakınsama hızı sınır fonksiyonunun düzgünlüğüne ve gözlem noktasının sınıra uzaklığına bağlıdır.
Örnek soru
Dikdörtgen bir kutuda $x=0$ ve $x=a$ duvarları topraklıdır ($V=0$). $V(x,y)=X(x)Y(y)$ ayırması yapıldığında $X(x)$ için kabul edilebilir çözüm hangisidir?
- $X = Ae^{kx} + Be^{-kx}$ ($k$ gerçek ve sıfırdan farklı)
- $X = A\cosh kx$
- $X = A\sin\dfrac{n\pi x}{a}$, $n = 1, 2, 3, \dots$
- $X = Ax + B$ ($A\neq 0$)
- $X = A\cos\dfrac{n\pi x}{a}$, $n = 1, 2, 3, \dots$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: C
1. Uçlarda $X(0)=X(a)=0$ olmalıdır. Salınımlı genel çözüm $X=A\sin kx + B\cos kx$ biçimindedir.
2. $X(0)=0$ koşulu $B=0$ verir (kosinüs elenir, E yanlış). $X(a)=0$ koşulu $\sin ka=0$ yani $k_n = n\pi/a$ verir.
3. Üstel ya da $\cosh$ çözümleri (A, B) iki ayrı noktada sıfır olamaz; doğrusal çözüm (D) ise iki uçta sıfırsa her yerde sıfırdır.
Sonuç: $X_n = \sin(n\pi x/a)$. Ayırma sabiti bu yüzden $k_n = n\pi/a$ ile kuantalanır.