Elektromanyetik Teori · 11. Ünite: Işıma
Radyasyon Reaksiyonu
İvmelenen bir yük Larmor formülüyle güç yayar; enerji korunacaksa bu kaybın bir bedeli, yükün kendi hareketine geri etki eden bir kuvvet olmalıdır. Bu konuda ışımanın yükün üzerindeki geri tepmesini, yani Abraham-Lorentz kuvvetini $\vec{F}_{rad} = \mu_0 q^2 \dot{\vec{a}}/(6\pi c)$ enerji argümanıyla elde edecek, onun doğurduğu üçüncü mertebeden hareket denklemini, kaçak (runaway) çözümleri ve önceden ivmelenmeyi (preacceleration) inceleyecek, enerji korunumunu Schott enerjisiyle denetleyecek ve klasik teorinin geçerlilik sınırını tartışacağız (Griffiths, Bölüm 11.2.3).
Öğrenme hedefleri
- Larmor gücünün ($P = \mu_0 q^2 a^2/6\pi c$) enerji kaybına yol açtığını ve bu kaybın kendi kendine uygulanan bir kuvvetle (self-force) telafi edilmesi gerektiğini açıklar; periyodik harekette iş-enerji argümanından $\vec{F}_{rad} = \mu_0 q^2 \dot{\vec{a}}/(6\pi c)$ ifadesini türetir.
- Zaman sabitini $\tau = \mu_0 q^2/(6\pi m c)$ olarak tanımlar, elektron için $\tau \approx 6{,}3\times 10^{-24}\ \text{s}$ değerini hesaplar ve $\tau = \tfrac{2}{3}\,r_e/c$ ilişkisiyle klasik elektron yarıçapına bağlar.
- Hareket denklemini $m\vec{a} = \vec{F}_{dis} + m\tau\,\dot{\vec{a}}$ biçiminde yazar; dış kuvvet yokken $a(t) = a_0 e^{t/\tau}$ kaçak çözümünü bulur ve bunun ışık hızına varma süresini sayısal olarak tahmin eder.
- Kaçak çözümü $a(\infty) = 0$ sınır koşuluyla eler, $a(t) = \tfrac{1}{m\tau}\int_t^\infty e^{-(t'-t)/\tau} F(t')\,dt'$ çözümünü kurar ve bir kuvvet darbesi için önceden ivmelenmeyi hesaplar.
- Ortalama güç ve çevrim başına enerji kaybı bakımından Larmor gücü ile radyasyon reaksiyonunun yaptığı işi karşılaştırır; ani eşitsizliği Schott enerjisi $\tfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,\vec{a}\cdot\vec{v}$ ile açıklar.
- Harmonik osilatörde radyasyon sönümlemesini ($\Gamma = \tau\omega_0^2$) ve klasik Bohr atomunun çökme süresini hesaplar; teorinin sınırlarını (kuantum etkileri, öz-enerji sonsuzluğu, Landau-Lifshitz indirgemesi) değerlendirir.
Konu anlatımı
Enerji Korunumu Bir Bedel İster: Işımanın Geri Tepmesi
Abraham-Lorentz Formülünün Türetilmesi
Hareket Denklemi ve Kaçak Çözümler
Önceden İvmelenme (Preacceleration) ve Fiziksel Yorum
Enerji Korunumu Denetimi ve Schott Enerjisi
Çözümlü Örnekler
Teorinin Sınırları ve Çözüm Yolları
Anahtar terimler
- Radyasyon reaksiyonu (Radiation reaction)
- Işıma yapan yükün, yaydığı alanlar yoluyla kendi hareketine uyguladığı geri tepme kuvveti; yayılan enerjinin yükten alınmasını sağlayan öz-kuvvettir.
- Abraham-Lorentz formülü
- Yavaş hareket eden nokta yük için $\vec{F}_{rad} = \mu_0 q^2\dot{\vec{a}}/(6\pi c) = m\tau\,\dot{\vec{a}}$; ivmenin zaman türeviyle (sarsım, jerk) orantılı öz-kuvvet.
- Zaman sabiti ($\tau$)
- $\tau = \mu_0 q^2/(6\pi m c)$; ışığın klasik elektron yarıçapı boyunca yol alma süresi mertebesindeki radyasyon reaksiyonu zaman ölçeği. Elektron için $\approx 6{,}27\times 10^{-24}\ \text{s}$.
- Kaçak çözüm (Runaway solution)
- Dış kuvvet yokken $a(t) = a_0 e^{t/\tau}$ ile üstel büyüyen, enerji korunumuna aykırı, fiziksel olmayan çözüm.
- Önceden ivmelenme (Preacceleration)
- Kaçak çözümü dışlayan sınır koşulunun sonucu olarak yükün, kuvvet uygulanmasından yaklaşık $\tau$ kadar önce ivmelenmeye başlaması.
- Schott enerjisi (Schott energy)
- $E_S = m\tau\,\vec{a}\cdot\vec{v}$; radyasyon reaksiyonunun anlık işi ile Larmor gücü arasındaki farkı taşıyan, periyodik harekette çevrim ortalaması sıfır olan enerji terimi.
- Larmor formülü (Larmor formula)
- İvmelenen yavaş yükün yaydığı toplam güç: $P = \mu_0 q^2 a^2/(6\pi c)$.
- Doğal çizgi genişliği ($\Gamma$)
- Harmonik salınıcıda radyasyon sönümleme hızı $\Gamma = \tau\omega_0^2$; enerji $E(t) = E_0 e^{-\Gamma t}$ ile azalır.
- Landau-Lifshitz indirgemesi
- Üçüncü mertebeden denklemde $\dot{a}$ yerine $\dot F_{dis}/m$ yazarak ikinci mertebeye inen, kaçak ve önceden ivmelenme içermeyen yaklaşım.
Örnek soru
Yavaş hareket eden, ivmelenen bir nokta yüke etki eden Abraham-Lorentz radyasyon reaksiyonu kuvveti aşağıdakilerden hangisidir?
- $\vec{F}_{rad} = \dfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,\vec{a}$
- $\vec{F}_{rad} = \dfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,\vec{v}$
- $\vec{F}_{rad} = \dfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,\dot{\vec{a}}$
- $\vec{F}_{rad} = \dfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,\ddot{\vec{a}}$
- $\vec{F}_{rad} = \dfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,a^2\,\hat{v}$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $\vec{F}_{rad} = \dfrac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\,\dot{\vec{a}}$
1. Larmor gücü $P = \mu_0 q^2 a^2/(6\pi c)$'dir; kuvvet bu kaybı karşılayacak biçimde, periyodik harekette $\int \vec{F}_{rad}\cdot\vec{v}\,dt = -\int P\,dt$ koşulundan bulunur.
2. $\int a^2\,dt = [\vec{a}\cdot\vec{v}] - \int \dot{\vec{a}}\cdot\vec{v}\,dt$ ve sınır terimi periyodik harekette sıfırdır; dolayısıyla kuvvet ivmenin zaman türeviyle (sarsım) orantılıdır.
3. Kuvvet $m\tau\,\dot{\vec{a}}$ biçimindedir, $\tau = \mu_0 q^2/(6\pi m c)$.
En güçlü çeldirici, kuvveti ivmeyle orantılı veren seçenektir: bu, birimce de ($\mu_0 q^2/c$ kütle çarpı zamandır; ivmeyle çarpılırsa $\text{N}\cdot\text{s}$ olur) ve fizikçe de yanlıştır. Sabit ivmede reaksiyon kuvveti sıfırdır.