Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş · 2. Ünite: Schrödinger Dalga Denklemi ve Tek Boyutlu Problemler
Serbest Parçacık ve Dalga Paketleri
En basit görünen problem, $V = 0$ olan serbest parçacık, kuantum mekaniğinin en öğretici sürprizlerinden birini saklar: zamandan bağımsız denklemin çözümleri olan düzlem dalgalar normalize edilemez, yani tek başına bir parçacığı temsil edemez. Fiziksel bir serbest parçacık, düzlem dalgaların Fourier süperpozisyonu olan bir dalga paketidir. Bu konuda paketin Fourier yapısını kurar, Gauss paketinin zaman evrimini türetir, faz hızı ile grup hızını ayırt eder ve paketin neden yayıldığını, ne kadar sürede iki katına çıktığını hesaplarsın. Sonunda $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ belirsizlik bağıntısının bir Fourier özelliği olduğunu görecek ve elektron ile makroskobik bir cisim için yayılma sürelerini karşılaştırabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Serbest parçacık için zamandan bağımsız denklemi çözer, düzlem dalganın normalize edilemediğini gösterir ve dağınım bağıntısını $\omega = \hbar k^2/2m$ yazar.
- Bir başlangıç dalga fonksiyonundan Fourier dönüşümüyle $\phi(k)$'yi hesaplar ve $\Psi(x,t)$'yi düzlem dalgaların süperpozisyonu olarak kurar.
- Faz hızını $v_f = \hbar k/2m$ ve grup hızını $v_g = d\omega/dk = \hbar k/m$ olarak türetir; grup hızının klasik hıza eşit olduğunu gösterir.
- Gauss paketinin genişliğini $\sigma(t) = \sigma_0\sqrt{1 + (\hbar t/2m\sigma_0^2)^2}$ ile hesaplar ve iki kat yayılma süresini $t_2 = \sqrt3\,2m\sigma_0^2/\hbar$ bulur.
- Gauss paketinin $t = 0$'da en küçük belirsizlik durumunu ($\Delta x\Delta p = \hbar/2$) oluşturduğunu ve serbest evrimde $\Delta p$'nin sabit, $\Delta x\Delta p$'nin artan olduğunu açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Serbest Bir Elektron Nasıl Tarif Edilir?
Düzlem Dalgalar ve Normalize Edilemezlik
Fourier Süperpozisyonu ve Momentum Uzayı
Faz Hızı ve Grup Hızı
Gauss Paketinin Zaman Evrimi ve Yayılması
Çözümlü Örnekler
Simülasyonda Okunacaklar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Serbest parçacık
- V = 0 olan sistem; zamandan bağımsız çözümler düzlem dalgalardır, enerji spektrumu süreklidir.
- Düzlem dalga
- Ψ_k = Ae^{i(kx−ωt)}; |Ψ|² her yerde sabit olduğundan normalize edilemez, delta fonksiyonuyla normalize edilir.
- Dağınım bağıntısı (dispersion relation)
- ω(k) = ħk²/2m; ω'' ≠ 0 olduğundan farklı k bileşenleri farklı hızla ilerler ve paket yayılır.
- Dalga paketi (wave packet)
- Düzlem dalgaların φ(k) ağırlıklı Fourier süperpozisyonu; normalize edilebilir ve yerelleşmiş.
- Momentum uzayı dalga fonksiyonu φ(k)
- Ψ(x,0)'ın Fourier dönüşümü; |φ(k)|²dk momentumu ħk ile ħ(k+dk) arasında bulma olasılığıdır.
- Faz hızı (phase velocity)
- Sabit fazlı noktaların hızı, v_f = ω/k = ħk/2m; serbest parçacıkta klasik hızın yarısı.
- Grup hızı (group velocity)
- Zarfın hızı, v_g = dω/dk = ħk/m; klasik parçacık hızına eşit.
- Paket yayılması (spreading)
- σ(t) = σ₀√(1 + (ħt/2mσ₀²)²); dar paketler ve hafif parçacıklar daha hızlı yayılır.
- En küçük belirsizlik durumu
- Δx·Δp = ħ/2 eşitliğini sağlayan durum; serbest Gauss paketi bunu yalnızca t = 0'da sağlar.
Örnek soru
Serbest parçacık için $\Psi_k = Ae^{i(kx - \hbar k^2t/2m)}$ Schrödinger denkleminin bir çözümüdür. Bu düzlem dalga neden tek başına fiziksel bir parçacık durumunu temsil edemez?
- $\int|\Psi_k|^2dx$ sonsuzdur; hiçbir $A$ ile normalize edilemez
- Enerjisi negatiftir
- Zamana bağlı Schrödinger denklemini yalnızca $t = 0$'da sağlar
- Momentumu tamamen belirsizdir
- Faz hızı ışık hızını aştığı için görelilikle çelişir
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $|\Psi_k|^2 = |A|^2$ her $x$ için sabittir; $\int_{-\infty}^{\infty}|A|^2dx = \infty$.
2. Born kuralı $\int|\Psi|^2dx = 1$ ister; hiçbir $A$ bunu sağlayamaz. Fiziksel durum düzlem dalgaların süperpozisyonu olan bir pakettir.
D tam tersidir: düzlem dalganın momentumu kesindir ($\hbar k$), konumu tamamen belirsizdir. Enerji $\hbar^2k^2/2m > 0$'dır; faz hızı relativistik olmayan bu modelde $\hbar k/2m$'dir ve bilgi taşımaz.
Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş: tüm konular