Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş · 2. Ünite: Schrödinger Dalga Denklemi ve Tek Boyutlu Problemler
Sonlu Potansiyel Kuyusu ve Basamak Potansiyeli
Gerçek potansiyeller sonsuz değildir: bir kuantum kuyusunun duvarı birkaç eV, bir çekirdeğin çekim kuyusu birkaç on MeV derinliktedir. Sonlu duvarlar iki yeni olgu getirir. Birincisi, bağlı durumlar (bound states) duvarın içine sızar ve sayıları sınırlıdır; enerjiler artık kapalı formülle değil, bir transandantal denklemin kökleriyle bulunur. İkincisi, kuyunun üstündeki enerjilerde parçacık bağlı değildir ve saçılma durumları (scattering states) ortaya çıkar: bir basamakla karşılaşan parçacık, klasik olarak tamamen geçeceği hâlde kısmen yansır. Bu konuda sonlu kuyunun çift ve tek çözümlerini kurar, bağlı durum sayısını ve sığ/derin limitleri türetir, basamakta yansıma ve geçme katsayılarını akımlardan hesaplar ve $R + T = 1$'in süreklilik denkleminden geldiğini gösterirsin.
Öğrenme hedefleri
- Sonlu kuyunun her bölgesinde çözümü yazar, $\psi$ ve $\psi'$'nün sürekliliğinden çift durumlar için $z\tan z = \sqrt{z_0^2 - z^2}$, tek durumlar için $-z\cot z = \sqrt{z_0^2 - z^2}$ denklemlerini türetir.
- Bağlı durum sayısını $N = \lceil 2z_0/\pi\rceil$ ile hesaplar; bir boyutta en az bir bağlı durumun her zaman var olduğunu gösterir.
- Derin kuyu limitinde enerjilerin sonsuz kuyu değerlerine alttan yaklaştığını, sığ kuyu limitinde tek bir zayıf bağlı durum kaldığını açıklar ve sızma uzunluğunu $\delta = \hbar/\sqrt{2m(V_0 - E)}$ hesaplar.
- Basamak potansiyelinde $E > V_0$ için $R = \left(\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}\right)^2$ ve $T = \frac{4k_1k_2}{(k_1 + k_2)^2}$, $E < V_0$ için $R = 1$ sonucunu türetir.
- Geçme katsayısının neden $|t|^2$ değil $(k_2/k_1)|t|^2$ olduğunu olasılık akımıyla açıklar ve $R + T = 1$'i doğrular.
Konu anlatımı
Bağlam: Duvarı Olan ama Sonsuz Olmayan Kuyular
Sonlu Kuyuda Çözüm: Çift ve Tek Durumlar
Bağlı Durum Sayısı, Derin ve Sığ Limitler
Basamak Potansiyeli: Yansıma ve Geçme
Çözümlü Örnekler
Simülasyonla Bağlantı
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Sonlu kare kuyu
- |x| < L/2'de V = 0, dışarıda V = V₀; 0 < E < V₀ aralığında sınırlı sayıda bağlı durum taşır.
- Bağlı durum (bound state)
- Sonsuzda sönen, normalize edilebilir durum; enerjisi kesikli değerler alır.
- Saçılma durumu (scattering state)
- Sonsuzda salınan, normalize edilemeyen durum; sürekli enerji, akım oranlarıyla (R, T) tarif edilir.
- Transandantal denklem
- Çift durumlar için z tan z = √(z₀² − z²), tek durumlar için −z cot z = √(z₀² − z²); kökler sayısal ya da grafikle bulunur.
- z₀ parametresi
- z₀ = (L/2)√(2mV₀)/ħ; kuyunun 'gücü'. Bağlı durum sayısı N = ⌈2z₀/π⌉.
- Sızma uzunluğu (penetration depth)
- δ = ħ/√(2m(V₀ − E)); klasik yasak bölgede ψ'nin e kat söndüğü mesafe.
- Yansıma katsayısı R
- Yansıyan ve gelen akımların oranı; basamakta E > V₀ için ((k₁ − k₂)/(k₁ + k₂))², E < V₀ için 1.
- Geçme katsayısı T
- Geçen ve gelen akımların oranı, T = (k₂/k₁)|t|²; basamakta 4k₁k₂/(k₁ + k₂)².
- Akım korunumu
- Durağan durumda ∂J/∂x = 0; her iki taraftaki akım eşittir ve R + T = 1.
Örnek soru
Aynı genişlikteki sonlu ($V_0$) ve sonsuz kuyuda bir elektronun $n$. bağlı durumunun enerjileri karşılaştırıldığında hangisi doğrudur?
- Sonlu kuyuda enerji daha yüksektir, çünkü duvarlar daha zayıftır
- İki enerji eşittir; yalnızca dalga fonksiyonları farklıdır
- Yalnızca en üst durum için sonlu kuyu enerjisi daha yüksektir
- Sonlu kuyuda enerji daha düşüktür, çünkü ψ duvara sızar ve etkin genişlik artar
- Hangisinin büyük olduğu parçacığın kütlesine bağlıdır
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Sonlu kuyuda $\psi$ duvarda sıfır olmaz, $e^{-\kappa|x|}$ ile söner; dalga etkin olarak $L + 2\delta$ genişliğe yayılır.
2. Daha uzun dalga boyu, daha küçük $k$ ve daha düşük kinetik enerji demektir: $E_n < E_n^\infty$ her $n$ ve her kütle için.
3. Örnek: $L = 1$ nm, $V_0 = 5$ eV'da $E_1 = 0{,}272$ eV, $E_1^\infty = 0{,}376$ eV.
A sezgisel ama ters yöndedir: duvar "zayıfladıkça" hapsetme gevşer ve enerji düşer.
Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş: tüm konular