Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş · 6. Ünite: Kuantum Mekaniğinin Temelleri ve Yorumları

Yoğunluk Matrisi ve Karışık Durumlar

Şimdiye kadar her sistemi bir ket $\lvert\psi\rangle$ ile betimledik. Ama bir fırından çıkan atomlar, kısmen kutuplanmış bir ışık demeti ya da dolanık bir çiftin yalnızca bir parçası tek bir ketle betimlenemez. Bu durumların hepsini kapsayan genel nesne yoğunluk matrisi (density matrix) $\hat\rho$'dur. Bu konuda $\hat\rho$'yu tanımlayıp temel özelliklerini (Hermityenlik, pozitiflik, birim iz) ispatlayacak, saflığı $\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2$ ile ölçecek, kubitlerde Bloch topunu kuracak, farklı toplulukların aynı $\hat\rho$'yu verebileceğini görecek, kısmi izle alt sistemlerin durumunu çıkaracak, von Neumann entropisini hesaplayacak ve $\hat\rho$'nun zaman evrimini ve termal dengedeki biçimini türeteceksin.

Öğrenme hedefleri

Konu anlatımı

  1. Bağlam: Ket Yetmediğinde

  2. Tanım: Saf ve Karışık Durumlar

  3. Yoğunluk Matrisinin Özellikleri ve Saflık

  4. Kubit: Bloch Topu

  5. Aynı ρ, Farklı Topluluklar: Gözlenebilir Ayırt Edilemezlik

  6. Kısmi İz ve İndirgenmiş Yoğunluk Matrisi

  7. von Neumann Entropisi

  8. Zaman Evrimi ve Termal Durum

  9. Çözümlü Örnekler

  10. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Yoğunluk matrisi (density matrix)
$\hat\rho = \sum_i p_i\lvert\psi_i\rangle\langle\psi_i\rvert$; Hermityen, pozitif, iz 1; tüm ölçüm istatistiklerini $\mathrm{Tr}(\hat\rho\hat A)$ ile verir.
Saf / karışık durum (pure / mixed state)
Saf: $\hat\rho = \lvert\psi\rangle\langle\psi\rvert$, $\hat\rho^2 = \hat\rho$. Karışık: tek bir projektörle yazılamayan, $\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2 < 1$ olan durum.
Saflık (purity)
$\mathrm{Tr}\,\hat\rho^2$; $1/d$ ile 1 arasında, 1 yalnızca saf durumda; kubitte $(1 + \lvert\vec r\rvert^2)/2$.
Bloch topu (Bloch ball)
Kubit durumlarının $\hat\rho = (\hat I + \vec r\cdot\vec\sigma)/2$, $\lvert\vec r\rvert \le 1$ ile temsili; yüzey saf, iç karışık, merkez $\hat I/2$.
Koherens (coherence)
Yoğunluk matrisinin köşegen dışı elemanları; taban durumları arasındaki faz ilişkisini ve girişim yeteneğini taşır.
Kısmi iz (partial trace)
$\mathrm{Tr}_B$; alt sistem A'nın tüm ölçüm istatistiklerini doğru veren tek indirgenmiş durumu $\hat\rho_A$'yı üretir.
von Neumann entropisi (von Neumann entropy)
$S = -\mathrm{Tr}\,\hat\rho\log_2\hat\rho$; saf durumda 0, maksimum karışıkta $\log_2 d$; saf iki parçalı durumda parçanın entropisi dolanıklığı ölçer.
von Neumann denklemi (von Neumann equation)
$i\hbar\,d\hat\rho/dt = [\hat H, \hat\rho]$; kapalı sistemde üniter evrim, saflığı ve entropiyi korur.
Termal durum (Gibbs state)
$\hat\rho = e^{-\beta\hat H}/Z$; sabit ortalama enerjide entropiyi en büyük yapan, durağan denge durumu.

Örnek soru

Aşağıdaki $2\times2$ matrislerden hangisi geçerli bir kubit yoğunluk matrisidir?

  1. $\begin{pmatrix}1{,}2 & 0\\ 0 & -0{,}2\end{pmatrix}$
  2. $\begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3\\ 0{,}3 & 0{,}3\end{pmatrix}$
  3. $\begin{pmatrix}0{,}5 & 0{,}6\\ 0{,}6 & 0{,}5\end{pmatrix}$
  4. $\begin{pmatrix}0{,}6 & 0{,}2i\\ 0{,}2i & 0{,}4\end{pmatrix}$
  5. $\begin{pmatrix}0{,}5 & 0\\ 0 & 0{,}6\end{pmatrix}$

Doğru cevap: B

Çözüm

1. Koşullar: Hermityen, iz 1, özdeğerler $\ge 0$ ($2\times2$'de iz 1 ve determinant $\ge 0$ yeterli).
2. B: Hermityen, iz $1$, $\det = 0{,}21 - 0{,}09 = 0{,}12 > 0$ ⇒ geçerli.
3. A: iz 1 ama özdeğer $-0{,}2$. C: $\det = 0{,}25 - 0{,}36 < 0$ (özdeğerler $1{,}1$ ve $-0{,}1$). D: $\rho_{10}$, $\rho_{01}^* = -0{,}2i$ olmalıydı, Hermityen değil. E: iz $1{,}1$.
En güçlü çeldirici C'dir: iz 1 ve Hermityendir ama pozitif değildir; Bloch vektörü $\lvert\vec r\rvert = 1{,}2 > 1$, yani topun dışında.

Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş: tüm konular