Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş · 3. Ünite: Kuantum Mekaniğinin Matematiksel Altyapısı
Zaman Evrimi, Ehrenfest Teoremi ve Rabi Salınımı
Şimdiye kadar durumları ve ölçümleri tek bir anda inceledik. Bu konuda durumun zaman içinde nasıl değiştiğini, Schrödinger denklemini Dirac dilinde yazarak kuruyoruz: zaman evrimi üniter bir operatördür, $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$. Aynı fiziği durumları sabit tutup operatörleri döndüren Heisenberg resmiyle de yazacak, her beklenen değerin $d\langle A\rangle/dt = (i/\hbar)\langle[\hat{H}, \hat{A}]\rangle + \langle\partial A/\partial t\rangle$ ile değiştiğini türetecek ve buradan korunum yasalarını ve Ehrenfest teoremini (klasik mekaniğe köprü) çıkaracağız. Sonra iki düzeyli bir sistemde manyetik alanda spin presesyonunu ve salınan bir alanla sürülen spinin Rabi salınımını dönen dalga yaklaşımıyla çözeceğiz. Sonunda bir π ya da π/2 atımının süresini, rezonans dışı aktarım olasılığını ve Larmor frekansını MHz–µs birimleriyle hesaplayabilecek, bunların NMR, MRI ve kubit kontrolündeki karşılığını açıklayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Zamandan bağımsız $\hat{H}$ için $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} = \sum_n e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle\langle n|$ biçimini Schrödinger denkleminden türetir, üniterliğini ve olasılığın korunmasını gösterir.
- Schrödinger ve Heisenberg resimlerinin aynı beklenen değerleri verdiğini gösterir; Heisenberg hareket denklemini harmonik osilatöre uygulayarak $\hat{x}_H(t)$'yi bulur.
- $d\langle A\rangle/dt = (i/\hbar)\langle[\hat{H}, \hat{A}]\rangle + \langle\partial\hat{A}/\partial t\rangle$ bağıntısını türetir; $[\hat{H}, \hat{A}] = 0$ olan niceliklerin korunduğunu ve Ehrenfest teoremini $d\langle p\rangle/dt = -\langle V'(x)\rangle$ çıkarır.
- Manyetik alandaki spin-½ için $|\psi(t)\rangle$'yi çözer, Bloch vektörünün Larmor frekansıyla döndüğünü gösterir ve Larmor frekansını elektron ve proton için hesaplar.
- Rabi problemini dönen çerçeve ve dönen dalga yaklaşımıyla çözer; Rabi formülü $P_1(t) = (\Omega^2/\Omega_R^2)\sin^2(\Omega_Rt/2)$'yi türetir ve π, π/2 atımı sürelerini ve rezonans dışı en büyük aktarımı hesaplar.
- Rabi salınımı ve presesyonun NMR, MRI ve kubit kontrolündeki rolünü (atım, rezonans taraması, kalibrasyon) açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Durumlar Nasıl Değişir?
Zaman Evrimi Operatörü ve Üniterlik
Schrödinger ve Heisenberg Resimleri
Beklenen Değerlerin Değişimi, Korunum ve Ehrenfest Teoremi
Manyetik Alanda Spin: Larmor Presesyonu
Rabi Problemi: Dönen Çerçeve ve Dönen Dalga Yaklaşımı
Atımlar, NMR/MRI ve Kubit Kontrolü
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Simülasyon ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Zaman evrimi operatörü (time-evolution operator)
- $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar} = \sum_n e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle\langle n|$; Hermityen $\hat{H}$ için üniterdir, olasılığı ve iç çarpımları korur.
- Heisenberg resmi (Heisenberg picture)
- Durumların sabit, operatörlerin $\hat{A}_H(t) = \hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}$ ile değiştiği eşdeğer betimleme; hareket denklemi $d\hat{A}_H/dt = (i/\hbar)[\hat{H}, \hat{A}_H]$.
- Ehrenfest teoremi
- $d\langle x\rangle/dt = \langle p\rangle/m$, $d\langle p\rangle/dt = -\langle V'(x)\rangle$; beklenen değerlerin Newton benzeri denklemleri. Kuadratik potansiyellerde klasik yörüngeyle tam örtüşür.
- Korunan nicelik (constant of motion)
- $[\hat{H}, \hat{A}] = 0$ ve $\partial\hat{A}/\partial t = 0$ olan gözlemlenebilir; beklenen değeri ve ölçüm olasılık dağılımı zamanla değişmez.
- Larmor presesyonu ve frekansı
- Sabit $\vec{B}$ alanında spinin Bloch vektörünün alan ekseni etrafında $\omega_0 = |\gamma|B_0$ ile dönmesi; proton için $42{,}58\,\text{MHz/T}$, elektron için $\approx 28\,\text{GHz/T}$.
- Rabi frekansı ve genelleştirilmiş Rabi frekansı
- $\Omega$: rezonansta $|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle$ salınımının açısal frekansı; ayar kaymasıyla $\Omega_R = \sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}$.
- Dönen dalga yaklaşımı (RWA)
- Dönen çerçevede $2\omega$ ile salınan terimleri atarak Hamiltoniyeni $\tfrac\hbar2(\Omega\sigma_x - \Delta\sigma_z)$ biçiminde zamandan bağımsız yapan yaklaşım; $\Omega \ll \omega_0$ iken geçerlidir.
- π ve π/2 atımı
- Rezonanslı sürüşte atım alanı $\Omega t = \pi$ (durumu $|0\rangle \to |1\rangle$ çevirir) ya da $\pi/2$ (eşit süperpozisyona, ekvatora götürür); $t_\pi = 1/(2f)$, $t_{\pi/2} = 1/(4f)$.
- Ayar kayması (detuning)
- $\Delta = \omega - \omega_0$; sürüş frekansının geçiş frekansından farkı. En büyük aktarımı $\Omega^2/(\Omega^2 + \Delta^2)$'ye düşürür.
Örnek soru
Zamandan bağımsız $\hat{H}$'nin bir özketi $|n\rangle$ ($\hat{H}|n\rangle = E_n|n\rangle$) için zaman evrimi operatörü $\hat{U}(t) = e^{-i\hat{H}t/\hbar}$ uygulanınca $\hat{U}(t)|n\rangle$ nedir?
- $e^{+iE_nt/\hbar}|n\rangle$
- $|n\rangle$
- $e^{-E_nt/\hbar}|n\rangle$
- $e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle$
- $\cos(E_nt/\hbar)\,|n\rangle$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Spektral ayrışım: $f(\hat{H})|n\rangle = f(E_n)|n\rangle$; $f(E) = e^{-iEt/\hbar}$.
2. $\hat{U}(t)|n\rangle = e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle$: özdurum yalnızca global bir faz kazanır, bu yüzden "durağandır".
3. Kontrol: $i\hbar\,\tfrac{d}{dt}(e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle) = E_n e^{-iE_nt/\hbar}|n\rangle$.
$e^{-E_nt/\hbar}$ ($i$ olmadan) normu sönümlendirir ve üniter değildir; $e^{+iE_nt/\hbar}$ zamanda geri evrimdir ($\hat{U}^\dagger$); $|n\rangle$ ise fazı tamamen yok sayar; tek başına gözlenmese de süperpozisyonlarda göreli faz olarak önem kazanır.
Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş: tüm konular