Modern Fizik · 6. Ünite: Kuantum Mekaniğinde Hidrojen Atomu
Elektron Spini ve Stern-Gerlach Deneyi
Stern-Gerlach deneyi, gümüş atomlarından oluşan bir demetin eşit olmayan bir manyetik alandan geçerken sürekli bir bant yerine yalnızca iki lekeye ayrıldığını gösterdi ve elektronun içsel açısal momentumunu (spin) ortaya çıkardı. Bu konuda spin-1/2 sisteminin $S=\tfrac{\sqrt3}{2}\hbar$, $S_z=\pm\tfrac\hbar2$ değerlerini, $\vec\mu=-g_s\mu_B\vec S/\hbar$ manyetik momentini, mıknatıs içindeki kuvvet ve sapma hesabını ve ardışık ölçümlerde ($\cos^2(\theta/2)$ olasılığıyla) spin durumlarının nasıl davrandığını çözebileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Stern-Gerlach düzeneğinde $F_z=\mu_z\,\partial B_z/\partial z$ kuvvetinden atomun ekrandaki sapmasını $z=a\,\tfrac{L}{v^2}\!\left(\tfrac L2+D\right)$ ile sayısal olarak hesaplar.
- Spin-1/2 için $S$, $S_z$ ve $\mu_z=\mp g_s\mu_B/2$ değerlerini hesaplar ve $g_s\approx2{,}0023$ ile $g_l=1$ farkını yorumlar.
- Klasik beklenti (sürekli bant) ile gözlenen iki lekeyi karşılaştırır; $l=0$ olan Ag atomunun neden spin gerektirdiğini gerekçelendirir.
- Ardışık SG ölçümlerinde ($z\to x\to z$) geçen atom oranını $P(+\hat n\,|\,+z)=\cos^2(\theta/2)$ ile hesaplar.
- Spin durumunu $|{+}z\rangle$, $|{\pm}x\rangle$ süperpozisyonlarıyla yazıp uyumsuz (komüte etmeyen) ölçümlerde bilginin neden silindiğini açıklar.
- $2j+1$ leke kuralını uygular ve elektronun klasik dönen top olamayacağını sayısal olarak gösterir.
Konu anlatımı
Bağlam: Sürekli mi, Ayrık mı?
Spin ve Manyetik Moment
Düzenek: Kuvvet ve Sapma Hesabı
Spin Durumları ve Ardışık Ölçümler
Uzay Kuantizasyonu ve Genelleme
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Spin
- Elektronun yörüngeden bağımsız içsel açısal momentumu: $S=\sqrt{3}\hbar/2$, $S_z=\pm\hbar/2$.
- Stern-Gerlach deneyi
- Nötr atom demetinin eşit olmayan manyetik alandan geçirilerek $\mu_z$'ye göre ayrık demetlere ayrıldığı 1922 deneyi.
- Bohr magnetonu (μ_B)
- $\mu_B=e\hbar/2m_e=9{,}274\times10^{-24}\,\text{J/T}=5{,}788\times10^{-5}\,\text{eV/T}$; atomik manyetik moment birimi.
- Spin g-faktörü (g_s)
- Spin manyetik momentinin $\mu_B S/\hbar$ cinsinden katsayısı; Dirac'a göre 2, QED ile $2{,}0023$.
- Uzay kuantizasyonu
- Açısal momentumun bir eksendeki bileşeninin yalnızca $2j+1$ ayrık değer alabilmesi.
- Uyumsuz (komüte etmeyen) gözlenebilirler
- $[S_x,S_z]\neq0$ olduğundan aynı anda keskin değer alamayan ve birbirinin bilgisini silen ölçümler.
- Born kuralı
- Ölçüm sonucunun olasılığının, özdurum katsayısının kare modülü olduğunu söyleyen kural; spin-1/2 için $\cos^2(\theta/2)$.
- Pauli matrisleri
- Spin-1/2 işlemcilerini $\vec S=\tfrac\hbar2\vec\sigma$ ile temsil eden $2\times2$ matrisler.
Örnek soru
Gümüş (Ag) atomlarından oluşan bir demet, eşit olmayan bir manyetik alandan geçirilip ekrana düşürülüyor. Ekranda ne gözlenir?
- Ortası dolu, sürekli geniş bir bant
- Sapmamış tek bir leke
- $m_l=-1,0,+1$'e karşılık üç ayrık leke
- Ortası boş, iki ayrık leke
- İki tepe ve aralarında sürekli bir dağılım
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Klasik beklenti: moment yönleri rastgele olduğundan $\mu_z$ sürekli dağılır ve ekranda sürekli bant görülür (A).
2. Ag temel durumunda $l=0$ olduğundan yörünge manyetik momenti yoktur; üç leke ($2l+1=3$) beklenmez.
3. Gözlem: elektron spini $m_s=\pm\tfrac12$ yalnızca iki $\mu_z$ değeri verir.
Cevap: ortası boş iki ayrık leke.