Modern Fizik · 9. Ünite: Molekül ve Katıhal Fiziği
Kristal Yapı
Katıların büyük çoğunluğu atomların uzayda periyodik biçimde dizildiği kristallerdir; bu periyodiklik, yoğunluktan iletkenliğe, kırınımdan mekanik davranışa kadar birçok özelliğin kaynağıdır. Bu konuda örgü, baz ve birim hücre kavramlarını, SC, BCC, FCC ve HCP yapılarının doluluk faktörlerini, Miller indisleri ve düzlemler arası uzaklığı, Bragg yasasıyla X-ışını kırınımını ve ters örgünün nitel anlamını öğrenecek, bir toz kırınım deseninden örgü türünü ve örgü sabitini çıkaracaksınız.
Öğrenme hedefleri
- Örgü, baz ve birim hücre kavramlarını ayırt eder; SC, BCC, FCC ve HCP yapılarında hücre başına düşen atom sayısını, koordinasyon sayısını ve en yakın komşu uzaklığını hesaplar.
- Atomları sert küre kabul ederek SC ($0.52$), BCC ($0.68$) ve FCC/HCP ($0.74$) doluluk faktörlerini geometrik olarak türetir ve yoğunluğu $\rho = nM/(N_Aa^3)$ ile hesaplar.
- Bir düzlemin eksen kesişimlerinden Miller indislerini $(hkl)$ bulur ve kübik kristalde $d_{hkl}=a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$ ile düzlemler arası uzaklığı hesaplar.
- Bragg yasasını $2d\sin\theta=n\lambda$ yol farkından türetir, $\lambda\le2d$ sınırını yorumlar ve verilen $(hkl)$ için kırınım açısını hesaplar.
- Yapı çarpanı kuralıyla (SC hepsi, BCC $h+k+l$ çift, FCC unmixed) izinli yansımaları belirler ve toz kırınım desenindeki $\sin^2\theta$ oranlarından örgü türünü ve $a$'yı bulur; ters örgüyü ($\vec G\cdot\vec R=2\pi n$) nitel olarak yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Kristal Neden Düzenlidir, Düzeni Nasıl Görürüz?
Örgü, Baz ve Birim Hücre
Doluluk Faktörü (Atomic Packing Factor)
Miller İndisleri ve Düzlemler Arası Uzaklık
Bragg Yasası ve X-ışını Kırınımı
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Simülasyon Yönlendirmesi
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Örgü (lattice)
- $\vec R=n_1\vec a_1+n_2\vec a_2+n_3\vec a_3$ ile verilen, uzayda periyodik nokta kümesi.
- Baz (basis)
- Her örgü noktasına bağlı atom ya da atom grubu; kristal yapı = örgü + baz.
- Birim hücre
- Öteleme ile uzayı boşluksuz dolduran en küçük tekrar birimi; ilkel hücrede yalnızca bir örgü noktası bulunur.
- Doluluk faktörü (APF)
- Hücredeki atom hacminin hücre hacmine oranı; SC 0,52, BCC 0,68, FCC ve HCP 0,74.
- Koordinasyon sayısı
- Bir atomun en yakın komşu sayısı: SC 6, BCC 8, FCC ve HCP 12.
- Miller indisleri ($hkl$)
- Düzlemin eksen kesişimlerinin terslerinden türetilen en küçük tam sayı üçlüsü.
- Düzlemler arası uzaklık ($d_{hkl}$)
- Kübik kristalde $a/\sqrt{h^2+k^2+l^2}$; $(hkl)$ ailesinin komşu düzlemleri arasındaki dik uzaklık.
- Bragg yasası
- $2d\sin\theta=n\lambda$; komşu düzlemlerden yansıyan ışınların yapıcı girişim koşulu.
- Ters örgü
- $e^{i\vec G\cdot\vec R}=1$ koşulunu sağlayan $\vec G$ vektörleri kümesi; $|\vec G_{hkl}|=2\pi/d_{hkl}$.
- Yapı çarpanı ($F_{hkl}$)
- Hücredeki atomlardan saçılan dalgaların faz toplamı; sıfırsa yansıma söner (BCC: $h+k+l$ tek; FCC: karışık indis).
Örnek soru
Atomların sert küreler olarak modellendiği FCC yapısının doluluk faktörü (APF) kaçtır?
- $0.34$
- $0.74$
- $0.52$
- $0.64$
- $0.68$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. FCC'de atomlar yüz köşegeni boyunca değer: $\sqrt2a=4r\Rightarrow r=\sqrt2a/4$.
2. Hücrede $n=4$ atom vardır: $\text{APF}=4\cdot\tfrac43\pi r^3/a^3=\pi/(3\sqrt2)=\mathbf{0.74}$.
$0.52$ SC'nin ($\pi/6$), $0.68$ BCC'nin ($\sqrt3\pi/8$), $0.34$ elmas yapısının, $0.64$ ise rastgele sıkı paketlemenin değeridir. Küreler için bilinen en yüksek istif yoğunluğu FCC ve HCP'de ortaya çıkan $0.74$'tür.