Diferansiyel Denklemler · 3. Ünite: Yüksek Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
Belirsiz Katsayılar Yöntemi
Bir yaya dışarıdan sinüzoidal bir kuvvet uygulandığında, bir devreye sabit bir gerilim kaynağı bağlandığında ya da bir kirleticinin girişi üstel olarak azaldığında denklemin sağ tarafı $g(t) \neq 0$ olur ve homojen çözüm tek başına yetmez. Belirsiz katsayılar yöntemi, sağ taraf polinom, üstel, kosinüs/sinüs ya da bunların çarpım ve toplamları olduğunda özel çözümü bir ansatz (tahmin) ile cebirsel olarak bulur: integral yok, yalnızca katsayı eşitleme vardır. Konunun sonunda $g(t)$'nin türüne bakarak doğru tahmin biçimini seçecek, homojen çözümle çakışma (rezonans) durumunda $t^s$ çarpanını ekleyecek, toplam sağ taraflarda süperpozisyon kuracak ve başlangıç koşullarını doğru toplama uygulayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- $y'' + by' + cy = g(t)$ denkleminin genel çözümünü $y = y_h + y_p$ biçiminde kurar ve $y_p$'nin neden yalnızca bir tane bulunmasının yeterli olduğunu açıklar.
- $g(t)$ polinom, $e^{\alpha t}$, $\cos\omega t$ ya da $\sin\omega t$, $(At + B)e^{\alpha t}$ veya $e^{\alpha t}\cos\omega t$ türündeyken $y_p$ için doğru tahmin biçimini (derece, kosinüs ile sinüsün birlikte bulunması, üstel çarpan) yazar.
- $\sigma$ karakteristik denklemin $s$ katlı kökü olduğunda tahmini $t^s$ ile çarpar ve bunun nedenini $p(\sigma) = 0$ koşuluyla açıklar.
- Tahmini denkleme yerleştirip katsayıları eşitleyerek $A, B, \dots$ belirsiz katsayılarını hesaplar.
- $g = g_1 + g_2$ olduğunda her terim için ayrı $y_p$ bulup süperpozisyonla birleştirir.
- Başlangıç koşullarını $y_h$ değil, $y = y_h + y_p$ toplamına uygular; yöntemin $\tan t$, $\sec t$, $1/t$ gibi sağ taraflarda neden çalışmadığını gerekçelendirir.
Konu anlatımı
Motivasyon: Sağ Taraf Sıfır Olmayınca
Tahmin Tablosu ve Arkasındaki Fikir
Rezonans Durumu: tˢ Kuralı
Çözümlü Örnekler
Toplam Sağ Taraflar ve Süperpozisyon
Başlangıç Koşulları Hangi Toplama Uygulanır?
Yöntemin Sınırı
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Özel çözüm (particular solution)
- Homojen olmayan denklemi sağlayan, sabit içermeyen herhangi bir çözüm $y_p$; genel çözüm $y = y_h + y_p$ olur.
- Homojen olmayan denklem (nonhomogeneous equation)
- Sağ tarafı sıfırdan farklı olan $y'' + by' + cy = g(t)$ biçimindeki denklem; $g$ dış zorlamayı temsil eder.
- Belirsiz katsayılar (undetermined coefficients)
- $y_p$'nin biçimini $g(t)$'ye bakarak tahmin edip $A, B, \dots$ katsayılarını denkleme yerleştirerek bulma yöntemi.
- Ansatz (tahmin biçimi)
- Katsayıları henüz bilinmeyen deneme çözümü; $g$'nin türevleriyle kapanan fonksiyon ailesinden seçilir.
- Rezonans durumu (resonance)
- $g$'deki üstel ya da trigonometrik terimin $\sigma$ değeri karakteristik denklemin köküyse tahmin $y_h$ ile çakışır; bu durumda $t^s$ çarpanı gerekir.
- Katlılık $s$ (multiplicity)
- $\sigma$'nın karakteristik denklemdeki kök sayısı; ikinci mertebede $s \in \{0, 1, 2\}$ ve tahmin $t^s$ ile çarpılır.
- Süperpozisyon (superposition)
- $g = g_1 + g_2$ için $y_p = y_{p1} + y_{p2}$; $L$ lineer olduğundan her terim ayrı çözülür.
- Parametrelerin değişimi (variation of parameters)
- $g$'nin türleri sınırsız olduğunda ($\tan t$, $1/t$) çalışan, $y_p = u_1y_1 + u_2y_2$ biçimli genel yöntem; belirsiz katsayıların uygulanamadığı yerde kullanılır.
- Başlangıç değer problemi (initial value problem)
- Denklem ile $y(t_0), y'(t_0)$ değerlerinin birlikte verilmesi; koşullar toplam çözüme uygulanır.
Örnek soru
$y'' - 3y' - 4y = 3e^{2t}$ denkleminin bir özel çözümü $y_p$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $-\tfrac{1}{2}\,e^{2t}$
- $\tfrac{1}{2}\,e^{2t}$
- $-\tfrac{3}{4}\,e^{2t}$
- $-\tfrac{1}{2}\,t\,e^{2t}$
- $3\,e^{2t}$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Karakteristik denklem $r^2 - 3r - 4 = (r - 4)(r + 1) = 0$; kökler $4$ ve $-1$. $\sigma = 2$ kök değildir, dolayısıyla $s = 0$ ve tahmin $y_p = Ae^{2t}$.
2. Yerine koy: $(4A - 6A - 4A)e^{2t} = -6Ae^{2t} = 3e^{2t}$, yani $A = -\tfrac{1}{2}$.
Cevap: A. B seçeneği $b$'nin işaretini ters çevirerek ($p(2) = +6$) bulunur. C yalnızca $c$ ile bölmekten ($3/(-4)$) gelir. D gereksiz bir $t$ çarpanı ekler: $2$ kök olmadığından rezonans yoktur. E ise $p(\sigma)$ yerine $p'(\sigma) = 1$ ile bölmektir; doğru bölen $p(\sigma) = -6$'dır.