Diferansiyel Denklemler · 7. Ünite
7. Ünite Deneme Sınavı: Seri Çözümleri
20 çoktan seçmeli soru · 3 konu · cevaplar ve çözümler sınavı bitirince
Sınavdaki konular
- Adi Noktalar Etrafında Kuvvet Serisi Çözümleri (7 soru)
- Düzgün Tekil Noktalar ve Frobenius Yöntemi (7 soru)
- Bessel ve Legendre Denklemleri (6 soru)
Deneme sınavı nasıl işler?
- Ünitenin her konusundan soru gelir; sorular konulara eşit dağılır.
- Cevaplar ve çözümler sınav sırasında görünmez; "Sınavı bitir" deyince hepsi birlikte açılır.
- Doğru sayına göre geri bildirim alırsın; yanlış yaptığın konulara tek tıkla dönersin.
- En iyi sonucunu geçen her doğru için 3 XP, %90'a ulaşınca 25 XP bonus ve deneme rozetleri kazanırsın.
- Sınavı sıfırlayıp yeni sorularla yeniden çözebilirsin; sıfırlamazsan sonuçların işaretli kalır.
Örnek sorular
Soru 1
$y'' + xy = 0$ denkleminde $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ denemesi yapılıyor. $x^n$ katsayılarının sıfırlanmasından elde edilen sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
- $a_{n+2} = -\dfrac{a_n}{(n+2)(n+1)}$, $\;n \geq 0$
- $a_2 = 0$ ve $a_{n+2} = -\dfrac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}$, $\;n \geq 1$
- $a_2 = 0$ ve $a_{n+2} = \dfrac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}$, $\;n \geq 1$
- $a_{n+2} = -\dfrac{a_{n+1}}{(n+2)(n+1)}$, $\;n \geq 0$
- $a_{n+3} = -\dfrac{a_n}{(n+3)(n+2)}$, $\;n \geq 0$ ve $a_2$ serbest
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $y'' = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$ ve $xy = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1}x^n$.
2. $n = 0$ katsayısı: $2a_2 = 0$, yani $a_2 = 0$. $n \geq 1$ için: $(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_{n-1} = 0$.
3. Sonuç: $a_{n+2} = -\dfrac{a_{n-1}}{(n+2)(n+1)}$.
Cevap: B. A seçeneği $xy$'yi $y$ gibi indisi kaydırmadan toplar ($x$ çarpanını unutur). C, denklemdeki $+xy$'nin işaretini ($y'' - xy$ olan Airy ile) karıştırır. D indisi $n+1$ alır. E seçeneği doğru özyinelemenin kaydırılmış biçimine benzer, ama $a_2$'yi serbest bırakır; oysa $n = 0$ koşulu $a_2 = 0$ der. Serbest sabitler yalnızca $a_0$ ve $a_1$'dir.
Soru 2
$2x^2y'' - xy' + (1 + x)y = 0$ denkleminin $x = 0$ etrafındaki Frobenius çözümleri için indis kökleri hangisidir?
- $r = 1$ (çift kök)
- $r_1 = 1,\ r_2 = \tfrac{1}{2}$
- $r_1 = -\tfrac{1}{2},\ r_2 = -1$
- $r_1 = \tfrac{3}{2},\ r_2 = 0$
- $r = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Baş katsayıya bölerek normal biçim: $x^2y'' - \tfrac{1}{2}xy' + \tfrac{1}{2}(1 + x)y = 0$, yani $p_0 = -\tfrac{1}{2}$ ve $q_0 = \tfrac{1}{2}$.
2. İndis denklemi $F(r) = r(r - 1) - \tfrac{1}{2}r + \tfrac{1}{2} = r^2 - \tfrac{3}{2}r + \tfrac{1}{2} = 0$.
3. Çarpanlara ayırırsak $(r - 1)(r - \tfrac{1}{2}) = 0$: $r_1 = 1$, $r_2 = \tfrac{1}{2}$.
Cevap: B. A, ikiye bölmeyi unutup $p_0 = -1$, $q_0 = 1$ ile çalışmaktan gelir ($(r - 1)^2$). C kök işaretini ters çevirmektir. D, $q_0$ terimini (denklemdeki $1 \cdot y$) atlamaktır. E, $q_0$'ın işaretini yanlış almaktır ($r^2 - \tfrac{3}{2}r - \tfrac{1}{2}$).
Sınavın tamamı Diferansiyel Denklemler dersini derslerine ekleyince açılır.