Elektromanyetik Teori · 9. Ünite: Elektromanyetik Dalgalar
Bir Boyutta Dalgalar
Işık, radyo dalgaları ve mikrodalgalar elektromanyetik alanın uzayda yayılan düzensizlikleridir; bu yayılımın matematiksel iskeleti, gergin bir ipteki dalgalarla aynıdır. Bu bölümde dalga denklemini ipten türetip genel çözümünü (d'Alembert) bulacak, sinüssel dalgaları ve karmaşık gösterimi kuracak, polarizasyonu (doğrusal, dairesel, eliptik) sınıflandıracak, iki ortamın ara yüzeyinde sınır koşullarından yansıma ve geçiş genliklerini elde edecek ve sonunda duran dalgalara ulaşacağız (Griffiths, Bölüm 9.1). Elektromanyetik dalgalara geçmeden önce gereken tüm dalga araç takımı burada hazırlanır.
Öğrenme hedefleri
- Gergin bir ip için Newton'un ikinci yasasından dalga denklemini türetir ve $v=\sqrt{T/\mu}$ hızını bulur; $g(z-vt)+h(z+vt)$ biçimindeki genel çözümün neden iki yönlü yayılım anlattığını açıklar.
- Sinüssel bir dalganın $A$, $k$, $\omega$, $\delta$ parametrelerini okur; $\lambda$, $T$, $\nu$, faz hızı $v=\omega/k$ ve enine parçacık hızı $\omega A$ değerlerini hesaplar.
- Aynı $k$ ve $\omega$ değerine sahip dalgaları karmaşık genlikler ($\tilde{A}=Ae^{i\delta}$) ile toplar ve toplamın genlik ile fazını bulur.
- İki dik bileşenin genlik oranı ve faz farkı $\delta$ verildiğinde polarizasyonun türünü (doğrusal, dairesel, eliptik), dönüş yönünü ve elips parametrelerini belirler.
- Ara yüzde $f$ ve $\partial f/\partial z$ sürekliliğinden $\tilde{A}_R/\tilde{A}_I=(v_2-v_1)/(v_2+v_1)$ ve $\tilde{A}_T/\tilde{A}_I=2v_2/(v_2+v_1)$ sonuçlarını türetir; yansıma ($R$) ve geçiş ($T$) güç katsayılarını hesaplar, $R+T=1$ olduğunu doğrular.
- Sabit uçlu bir telde duran dalgayı süperpozisyondan elde eder; düğüm konumlarını, mod frekanslarını ve kısmi duran dalga oranını bulur.
Konu anlatımı
Bağlam: Dalga Nedir, Neden İple Başlıyoruz?
Dalga Denklemi ve d'Alembert Çözümü
Sinüssel Dalgalar: k, ω, δ ve Faz Hızı
Karmaşık Gösterim
Polarizasyon (Kutuplanma)
Ara Yüzde Yansıma ve Geçiş: Sınır Koşulları
Duran Dalgalar
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Dalga denklemi (wave equation)
- $\partial_z^2 f = v^{-2}\,\partial_t^2 f$; gergin ip için $v=\sqrt{T/\mu}$. Genel çözümü sağa ve sola ilerleyen iki fonksiyonun toplamıdır: $g(z-vt)+h(z+vt)$.
- Dalga sayısı ve dalga boyu (wave number, wavelength)
- $k=2\pi/\lambda$ (rad/m); uzayda bir tam faz turunun ($2\pi$) kaç metrede tamamlandığını verir. $\lambda$ iki komşu tepe arası uzaklıktır.
- Açısal frekans ve periyot (angular frequency, period)
- $\omega=2\pi\nu=2\pi/T$; sabit bir noktadaki salınımın faz değişim hızı. Dağılmasız ortamda $\omega=vk$.
- Faz hızı (phase velocity)
- Sabit fazlı noktanın (örn. bir tepenin) yayılma hızı: $v=\omega/k=\lambda\nu$. Parçacıkların enine hızı $\omega A$ ile karıştırılmamalıdır.
- Karmaşık genlik (complex amplitude)
- $\tilde A=Ae^{i\delta}$; gerçek dalga $f=\operatorname{Re}[\tilde A e^{i(kz-\omega t)}]$. Aynı $k$, $\omega$ değerli dalgalar karmaşık genliklerin toplanmasıyla birleşir.
- Polarizasyon (polarization)
- Enine dalgada yer değiştirme (ya da $\vec E$) vektörünün $z$'ye dik düzlemde nasıl davrandığı. $\delta=0,\pi$ doğrusal; $A_x=A_y$ ve $\delta=\pm\pi/2$ dairesel; diğerleri eliptiktir.
- Sınır koşulları (boundary conditions)
- Ara yüzde $f$ ve $\partial f/\partial z$ sürekli olmalıdır (kütlesiz düğüm). Bu iki koşul yansıma ve geçiş genliklerini tek tek belirler.
- Yansıma ve geçiş katsayıları (reflection and transmission coefficients)
- Genlik: $\Gamma=(v_2-v_1)/(v_2+v_1)$, $\tau=2v_2/(v_1+v_2)$. Güç: $R=\Gamma^2$, $T=4v_1v_2/(v_1+v_2)^2$, $R+T=1$.
- Duran dalga (standing wave)
- Ters yönlü iki eşit dalganın toplamı: $2A\sin kz\sin\omega t$. Şekil ilerlemez; düğümler ($z=n\lambda/2$) sabit, karınlarda genlik $2A$.
- Duran dalga oranı (SWR)
- Kısmi yansımada zarfın en büyük ve en küçük genliğinin oranı: $(1+|\Gamma|)/(1-|\Gamma|)$; saf ilerleyen dalgada $1$, tam yansımada sonsuz.
Örnek soru
SI birimlerinde bir ip dalgası $y(z,t)=0.02\cos(3z-12t)$ ile verilmiştir. Bu dalganın faz hızı ve yayılma yönü nedir?
- $36\,\text{m/s}$, $+z$ yönünde
- $4\,\text{m/s}$, $-z$ yönünde
- $4\,\text{m/s}$, $+z$ yönünde
- $0.25\,\text{m/s}$, $+z$ yönünde
- $12\,\text{m/s}$, $+z$ yönünde
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $4\,\text{m/s}$, $+z$ yönünde.
1. Genel biçim $A\cos(kz-\omega t+\delta)$ ile karşılaştırılırsa $k=3\,\text{rad/m}$, $\omega=12\,\text{rad/s}$ olur.
2. Faz hızı $v=\omega/k=12/3=\mathbf{4\,\text{m/s}}$.
3. Argüman $kz-\omega t$ biçimindedir; $kz-\omega t=\text{sabit}$ koşulunda $z$ zamanla artar, dolayısıyla dalga $+z$ yönünde gider.
En güçlü çeldirici $36\,\text{m/s}$ ($k\omega$ çarpımı) ve $0.25\,\text{m/s}$ ($k/\omega$ oranı); ikisi de hız tanımını ($\omega/k$) tersine ya da yanlış kurar. $12\,\text{m/s}$ ise yalnızca $\omega$'dır, $k$'ya bölünmemiştir.