Elektromanyetik Teori · 8. Ünite: Korunum Yasaları
Elektromanyetik Stres Tensörü
Bir yük dağılımına etki eden elektromanyetik kuvveti, yükleri tek tek toplamak yerine onları saran bir yüzeyin üzerindeki alanlardan okuyabiliriz. Maxwell stres tensörü $T_{ij}$, Lorentz kuvvet yoğunluğunun bir diverjans olarak yazılmasını sağlayan simetrik bir matristir: köşegen bileşenleri basınç ve çekmeyi, köşegen dışı bileşenleri kayma gerilmesini verir. Bu bölümde tensörü türetecek, paralel levha, yüklü kabuk ve solenoid örneklerinde kuvvetleri yüzey integraliyle hesaplayacak ve $\partial \vec{g}/\partial t = \nabla\cdot\overleftrightarrow{T} - \vec{f}$ momentum korunum yasasına ulaşacağız (Griffiths, Bölüm 8.2.3 ve 8.3).
Öğrenme hedefleri
- Lorentz kuvvet yoğunluğundan başlayarak $\vec{f} = \nabla\cdot\overleftrightarrow{T} - \varepsilon_0\mu_0\,\partial\vec{S}/\partial t$ bağıntısını türetir ve statik durumda toplam kuvveti $\vec{F} = \oint \overleftrightarrow{T}\cdot d\vec{a}$ biçiminde yazar.
- Maxwell stres tensörünün $T_{ij}$ bileşenlerini verilen $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ için hesaplar; köşegen bileşenleri basınç ya da çekme, köşegen dışı bileşenleri kayma gerilmesi olarak yorumlar.
- Bir yüzey elemanına etki eden gerilmenin büyüklüğünün $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ olduğunu ve normal ile teğet bileşenlerin $\cos 2\beta$, $\sin 2\beta$ ile değiştiğini gösterir.
- Yüklü paralel levhalar, yüklü küresel kabuğun yarım küresi ve iki nokta yük için kuvveti stres tensörü yüzey integraliyle hesaplar ve Coulomb yasasıyla doğrular.
- Solenoidde manyetik basıncı $P = B^2/2\mu_0$ ve uç kuvvetini $F = P\,\pi R^2$ ile hesaplar, değeri enerji yoğunluğuyla ilişkilendirir.
- Momentum korunumunu $\partial\vec{g}/\partial t = \nabla\cdot\overleftrightarrow{T} - \vec{f}$ olarak yorumlar; $-T_{ij}$ nin momentum akı yoğunluğu olduğunu ve radyasyon basıncını bu çerçevede hesaplar.
Konu anlatımı
Bağlam: Kuvveti Alandan Okumak
Maxwell Stres Tensörünün Türetilmesi
Tensörün Anlamı: Basınç, Çekme ve Kayma
Çözümlü Örnekler: Elektriksel Gerilmeler
Manyetik Basınç: Solenoid Örneği
Momentumun Korunumu: $\partial \vec{g}/\partial t = \nabla\cdot\overleftrightarrow{T} - \vec{f}$
Simülasyonla Keşif ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Maxwell stres tensörü (Maxwell stress tensor)
- $T_{ij} = \varepsilon_0(E_iE_j - \tfrac12\delta_{ij}E^2) + \tfrac{1}{\mu_0}(B_iB_j - \tfrac12\delta_{ij}B^2)$. Simetrik, basınç birimli bir tensördür; diverjansı Lorentz kuvvet yoğunluğuna eşittir (statikte).
- Çekiş vektörü (traction)
- $\vec{t} = \overleftrightarrow{T}\cdot\hat{n}$: normali $\hat{n}$ olan yüzey elemanının birim alanına etki eden kuvvet. Elektrik alanda büyüklüğü her yönelim için $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ dir.
- Basınç ve çekme (pressure, tension)
- Köşegen bileşenler. Alan çizgileri boyunca $+\tfrac12\varepsilon_0E^2$ (çekme), çizgilere dik yönde $-\tfrac12\varepsilon_0E^2$ (basınç). Manyetik alanda $\varepsilon_0E^2$ yerine $B^2/\mu_0$ gelir.
- Kayma gerilmesi (shear stress)
- Köşegen dışı bileşenler; yüzeye teğet kuvvet. Yüzey, alan çizgisiyle $\beta$ açısı yapıyorsa $\tau = \tfrac12\varepsilon_0E^2\sin 2\beta$.
- Yüzey integrali ile kuvvet
- Statik durumda $\vec{F} = \oint_{\mathcal{S}} \overleftrightarrow{T}\cdot d\vec{a}$; $d\vec{a}$ dışa doğru, kuvvet yüzeyin içindeki yüklere etki eder. Yüzeyin biçimi önemsizdir, yeter ki yükler yüzeyin üzerinde olmasın.
- Manyetik basınç (magnetic pressure)
- $P_B = B^2/2\mu_0$. Aynı zamanda manyetik enerji yoğunluğudur; solenoid sarımlarını dışarı iter, uçlarını içeri çeker ($F = P_B\,\pi R^2$).
- Alan momentum yoğunluğu (field momentum density)
- $\vec{g} = \varepsilon_0\,\vec{E}\times\vec{B} = \vec{S}/c^2$. Momentum korunumu: $\partial\vec{g}/\partial t = \nabla\cdot\overleftrightarrow{T} - \vec{f}$.
- Momentum akı yoğunluğu (momentum flux density)
- $-T_{ij}$: $i$ yönündeki momentumun $j$ yönüne akan birim alan ve birim zaman başına miktarı. Işınım basıncı bu akının bir yüzeye aktarılmasıdır ($P = I/c$ ya da $2I/c$).
Örnek soru
Boşlukta düzgün $\vec{E} = E_0\,\hat{z}$ alanı vardır ($\vec{B}=0$). Maxwell stres tensörünün $T_{zz}$ ve $T_{xx}$ bileşenleri sırasıyla nedir?
- $+\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ ve $+\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$
- $-\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ ve $+\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$
- $+\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ ve $-\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$
- $+\varepsilon_0E_0^2$ ve $0$
- $-\varepsilon_0E_0^2$ ve $0$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $T_{zz}=+\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$, $T_{xx}=-\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$
1. Tanım: $T_{ij}=\varepsilon_0\big(E_iE_j-\tfrac12\delta_{ij}E^2\big)$ (manyetik alan yok).
2. $i=j=z$: $T_{zz}=\varepsilon_0\big(E_0^2-\tfrac12E_0^2\big)=\mathbf{+\tfrac12\varepsilon_0E_0^2}$. Alan çizgisi boyunca çekme vardır.
3. $i=j=x$: $E_x=0$ olduğundan $T_{xx}=\varepsilon_0\big(0-\tfrac12E_0^2\big)=\mathbf{-\tfrac12\varepsilon_0E_0^2}$. Çizgilere dik yönde basınç vardır.
Çeldiriciler: A şıkkı tüm köşegen elemanları aynı işaretli sanır; B şıkkı işaretleri ters alır; D ve E şıkları $\tfrac12$ çarpanını ve $\delta_{ij}$ terimini unutur.