Elektromanyetik Teori · 4. Ünite: Madde İçinde Elektrik Alanı
Elektrik Yerdeğiştirme (D Alanı)
Bir dielektrik içindeki alanı bulmak için hem deneyci olarak yerleştirdiğimiz serbest yükü hem de malzemenin kendi kutuplanmasından doğan bağlı yükü bilmemiz gerekir; oysa bağlı yük de alanın sonucudur ve bu bir kısır döngü yaratır. Elektrik yerdeğiştirme (electric displacement) $\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ alanı Gauss yasasını bağlı yükten arındırır: $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$. Bu konunun sonunda simetrik düzeneklerde $\vec{D}$'yi yalnızca serbest yükten hesaplayabilir, arayüzlerdeki sınır koşullarını türetip uygulayabilir ve $\vec{D}$'nin ne zaman işe yaramadığını ($\nabla\times\vec{D}\neq 0$) gerekçesiyle açıklayabilirsin.
Öğrenme hedefleri
- Toplam yük yoğunluğunu $\rho=\rho_f+\rho_b$ olarak ayırıp $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$ bağıntısından dielektrikte Gauss yasasının $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$ biçimini türetir.
- Silindirik, küresel ve düzlemsel simetrili düzeneklerde $\oint\vec{D}\cdot d\vec{a}=Q_f$ ile $\vec{D}$, $\vec{E}$ ve $\vec{P}$ alanlarını sayısal olarak hesaplar.
- Doğrusal bir dielektrikte $\vec{D}=\epsilon\vec{E}$, $\epsilon=\epsilon_0(1+\chi_e)$ ilişkisini kullanarak $\epsilon_r$ ile bağlı yük miktarını $Q_b=\pm Q_f(1-1/\epsilon_r)$ bağlar.
- İki dielektrik arasındaki arayüzde $D_\perp$ ve $E_\parallel$ sınır koşullarını kutu (pillbox) ve halka (loop) yöntemleriyle türetir, kırılma bağıntısı $\tan\theta_1/\tan\theta_2=\epsilon_1/\epsilon_2$ ile açıyı hesaplar.
- $\nabla\times\vec{D}=\nabla\times\vec{P}$ sonucundan hareketle $\vec{D}$ alanının serbest yük dağılımından tek başına belirlenemediği durumları (ör. elektret) tanır ve simetri koşulunu gerekçelendirir.
Konu anlatımı
Bağlam: Bağlı Yük Kısır Döngüsü
Dielektrikte Gauss Yasası ve D Vektörünün Tanımı
Gauss Yasasının Kullanımı: Simetri ve Çözümlü Örnek 1
Çözüm Örnek 2: Dielektrik Kabuklu İletken Küre
D İçin Sınır Koşulları
Çözümlü Örnekler 3 ve 4: Çift Katmanlı Kondansatör ve Kırılma
D Ne Zaman Yararlıdır, Ne Zaman Değildir?
Simülasyonla Keşif ve Karşılaştırma
Sık Yapılan Hatalar ve Özet
Anahtar terimler
- Elektrik yerdeğiştirme (electric displacement) $\vec{D}$
- $\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ ile tanımlanan, birimi $\text{C/m}^2$ olan yardımcı alan. Diverjansı yalnızca serbest yük yoğunluğuna eşittir: $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$.
- Serbest yük (free charge)
- Malzemeden bağımsız olarak yerleştirilen, iletilebilen ya da dışarıdan kontrol edilen yük ($\rho_f$, $\sigma_f$, $Q_f$). $\vec{D}$ alanının diverjans kaynağıdır.
- Bağlı yük (bound charge)
- Dielektrikte polarizasyon sonucu oluşan ve malzemeden ayrılamayan yük: $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$ ve $\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat{n}$.
- Dielektrikte Gauss yasası
- $\oint\vec{D}\cdot d\vec{a}=Q_{f,\text{içeri}}$: Gauss yüzeyi içindeki yalnızca serbest yükü sayan, bağlı yükü bilmeyi gerektirmeyen biçim.
- Bağıl geçirgenlik (dielektrik sabiti, relative permittivity)
- Doğrusal ortamda $\epsilon_r=1+\chi_e=\epsilon/\epsilon_0$. $\vec{D}=\epsilon_0\epsilon_r\vec{E}$ ve boşlukta $\epsilon_r=1$ olur.
- Sınır koşulları (boundary conditions)
- Arayüzde $D_2^\perp-D_1^\perp=\sigma_f$, $E_2^\parallel=E_1^\parallel$ ve $D_2^\parallel-D_1^\parallel=P_2^\parallel-P_1^\parallel$. Doğrusal ortamda $\tan\theta_1/\tan\theta_2=\epsilon_1/\epsilon_2$.
- D'nin rotasyoneli (curl of D)
- $\nabla\times\vec{D}=\nabla\times\vec{P}$. Genelde sıfır olmadığından $\vec{D}$, serbest yükün Coulomb alanı değildir; simetri yoksa Gauss yasası $\vec{D}$'yi tek başına belirlemez.
- Elektret (electret)
- Dış alan olmadan kalıcı polarizasyon taşıyan malzeme. $\rho_f=0$ olsa da $\vec{D}\neq0$ ve $\nabla\times\vec{D}\neq0$ olabilir.
Örnek soru
Doğrusal bir dielektrik ortamda serbest yük $Q_f$, bağlı yük $Q_b$ ve toplam yük $Q=Q_f+Q_b$ olsun. Kapalı bir $S$ yüzeyi için elektrik yerdeğiştirme $\vec{D}$ cinsinden Gauss yasası aşağıdakilerden hangisidir?
- $\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{a}=Q/\epsilon_0$
- $\oint_S\vec{E}\cdot d\vec{a}=Q_f/\epsilon_0$
- $\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{a}=Q_{f,\text{içeri}}$
- $\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{a}=Q_{b,\text{içeri}}$
- $\oint_S\vec{P}\cdot d\vec{a}=Q_{f,\text{içeri}}$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $\oint_S\vec{D}\cdot d\vec{a}=Q_{f,\text{içeri}}$
1. Toplam yük yoğunluğu $\rho=\rho_f+\rho_b$ ve $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$ olduğundan boşluktaki Gauss yasası $\nabla\cdot(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P})=\rho_f$ biçimini alır.
2. $\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ tanımıyla $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$ olur; diverjans teoremi ile $\oint\vec{D}\cdot d\vec{a}=\mathbf{Q_{f,\text{içeri}}}$ bulunur.
Çeldiriciler: A şıkkı $\vec{D}$ ile toplam yükü karıştırır, B şıkkı $\vec{E}$ akısını yalnızca serbest yüke bağlar (doğrusu toplam yük), D ve E şıkları $\vec{D}$ ya da $\vec{P}$ akısını bağlı yükle ilişkilendirir (doğrusu $\oint\vec{P}\cdot d\vec{a}=-Q_b$).