Elektromanyetik Teori · 4. Ünite: Madde İçinde Elektrik Alanı
Kutuplanmış Cismin Elektrik Alanı
Bir dielektrik kutuplandığında (polarize olduğunda) içindeki sayısız mikroskobik dipol, dışarıya ve kendi içine bir elektrik alan yayar. Bu bölümde bağlı yük (bound charge) kavramını yeniden kurup, polarizasyon vektörü $\vec{P}$ verildiğinde alanın nasıl bulunacağını öğreniyoruz: önce düzgün kutuplanmış kürenin alanını kesin olarak çözüyor, ardından aynı yöntemi silindir, levha ve düzgün olmayan kutuplanmalara uyguluyoruz. Sonuçta bağlı yüklerin serbest yükler kadar "gerçek" bir alan kaynağı olduğunu, ama malzemeden dışarı çıkarılamayacaklarını göreceğiz.
Öğrenme hedefleri
- Polarizasyon vektöründen bağlı yüzey ($\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat{n}$) ve bağlı hacim ($\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$) yük yoğunluklarını hesaplar.
- Düzgün kutuplanmış kürenin iç alanını ($-\vec{P}/3\epsilon_0$) ve dış alanını (dipol momenti $\tfrac{4}{3}\pi R^3\vec{P}$ olan nokta dipol) sınır koşullarıyla türetir.
- Uzun silindir ve sonsuz levha için bağlı yükleri bulur, Gauss yasası ya da iki boyutlu Laplace çözümüyle iç ve dış alanı hesaplar.
- Bağlı yük alanının, aynı dağılıma sahip serbest yük alanıyla aynı denklemlere uyduğunu açıklar ve bu eşdeğerliği sayısal olarak sınar.
- Bağlı yüklerin fiziksel gerçekliğini (atomik düzeyde yer değiştirmiş yükler) ve matematiksel eşdeğer yük kavramını birbirinden ayırt eder.
- Depolarizasyon alanını, yani iç alanın neden $\vec{P}$'ye zıt yönde olduğunu ve geometriye bağımlılığını yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: P Verildiğinde E Nedir?
Bağlı Yükler Yeniden: Türetme ve Anlam
Düzgün Kutuplanmış Kürenin Alanı (Kesin Çözüm)
Bağlı Yük Alanı ile Serbest Yük Alanı: Eşdeğerlik ve Fark
Fiziksel ve Matematiksel Bağlı Yükler
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Bağlı yük (Bound charge)
- Atom ve moleküllerin kutuplanması sonucu makroskopik olarak ortaya çıkan, yerinden koparılamayan yük dağılımı; yüzeyde $\sigma_b$, hacimde $\rho_b$ ile gösterilir.
- Bağlı yüzey yükü yoğunluğu ($\sigma_b$)
- $\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat{n}$; $\hat{n}$ cismin dışa doğru birim normalidir. Yalnızca $\vec{P}$'nin yüzeye dik bileşeni katkı yapar.
- Bağlı hacim yükü yoğunluğu ($\rho_b$)
- $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$; düzgün olmayan kutuplanmada hacim içinde kalan net yük yoğunluğudur. Düzgün $\vec{P}$ için sıfırdır.
- Düzgün kutuplanmış küre
- İçinde $\vec{E}=-\vec{P}/3\epsilon_0$ düzgün alanı, dışında $p=\tfrac{4}{3}\pi R^3P$ momentli nokta dipol alanı bulunan, $\sigma_b=P\cos\theta$ yüklü küre.
- Depolarizasyon alanı (Depolarizing field)
- Bağlı yüklerin cisim içinde yarattığı, $\vec{P}$'ye zıt yönlü alan; büyüklüğü şekle bağlıdır (küre $P/3\epsilon_0$, uzun silindir $P/2\epsilon_0$, levha $P/\epsilon_0$).
- Nokta dipol yaklaşımı
- Kutuplanmış cismin dış alanını, merkezde toplam dipol momentli tek bir dipolün alanı olarak yazma; küre için dışarıda kesin, içeride geçersizdir.
- Ayrılma vektörü ($\vec{\mathscr{r}}$)
- Kaynak noktasından alan noktasına giden $\vec{\mathscr{r}}=\vec{r}-\vec{r}'$ vektörü; potansiyel integrallerinde kullanılır.
Örnek soru
$\vec{P}=P\hat{z}$ ile düzgün kutuplanmış $R$ yarıçaplı bir kürenin bağlı yük yoğunlukları aşağıdakilerden hangisidir? ($\theta$: $z$ ekseninden ölçülen kutupsal açı)
- $\rho_b=P,\;\sigma_b=0$
- $\rho_b=0,\;\sigma_b=P\cos\theta$
- $\rho_b=0,\;\sigma_b=P\sin\theta$
- $\rho_b=-P/R,\;\sigma_b=P$
- $\rho_b=0,\;\sigma_b=P$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $\rho_b=0,\;\sigma_b=P\cos\theta$
1. Hacim yükü: $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}=-\nabla\cdot(P\hat{z})=\mathbf{0}$, çünkü $\vec{P}$ sabittir.
2. Yüzey yükü: $\sigma_b=\vec{P}\cdot\hat{n}=P\,\hat{z}\cdot\hat{r}=\mathbf{P\cos\theta}$.
3. Kutuplarda $\pm P$, ekvatorda $0$ olur; toplamları sıfırdır.
Çeldiriciler: $P\sin\theta$ normal vektörle skaler çarpım yerine ters bileşeni almaktır, $\sigma_b=P$ ise $\hat{n}$'nin yönünü unutmaktır (yüzey yükü sabit olamaz, işaret değiştirir).