Elektromanyetik Teori · 9. Ünite: Elektromanyetik Dalgalar
Madde İçinde Elektromanyetik Dalgalar
Işık cama ya da suya girdiğinde yavaşlar, yönünü değiştirir ve bir kısmı geri yansır. Bu bölümde doğrusal, yalıtkan bir ortamda Maxwell denklemlerinden dalga denklemini türetip faz hızını $v = 1/\sqrt{\varepsilon\mu}$ ve kırılma indisini $n = c/v$ olarak elde ediyoruz; ardından iki ortamın arayüzündeki sınır koşullarından yansıma ve iletim genliklerini (normal ve eğik gelişte Fresnel denklemleri), Snell yasasını, Brewster açısını ve tam iç yansımayı (evanescent dalga dahil) çıkarıyoruz. Sonunda bu sonuçlarla bir arayüzdeki yansıma yüzdesini, polarizasyon açısını ve optik fiberin kabul açısını hesaplayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Doğrusal, homojen, yalıtkan bir ortamda Maxwell denklemlerinden $\nabla^2\vec{E} = \varepsilon\mu\,\partial^2\vec{E}/\partial t^2$ dalga denklemini türetir; faz hızını $v = 1/\sqrt{\varepsilon\mu}$ ve kırılma indisini $n = c/v \approx \sqrt{\varepsilon_r}$ olarak hesaplar.
- Normal gelişte $E$ ve $B/\mu$ teğetsel bileşenlerinin sürekliliğinden yansıyan ve iletilen genlikleri bulur; $R = \left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)^2$ ve $T = \frac{4n_1n_2}{(n_1+n_2)^2}$ ile $R+T=1$ enerji korunumunu doğrular.
- Eğik gelişte frekansın sabitliği ve faz uyumundan yansıma yasasını ve Snell yasasını $n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T$ çıkarır; kırılma açısını ve ışının eğilme yönünü belirler.
- Fresnel denklemlerini ($s$ ve $p$ polarizasyonu için $r$, $t$, $R$, $T$) kullanarak verilen $n_1$, $n_2$ ve $\theta_I$ için yansıma ve iletim yüzdelerini sayısal olarak hesaplar.
- Brewster açısını $\tan\theta_B = n_2/n_1$ olarak türetir; yansıyan ışığın neden tamamen $s$ polarizasyonunda olduğunu açıklar.
- Kritik açıyı $\sin\theta_c = n_2/n_1$ ile bulur; tam iç yansımada evanescent dalganın sönüm sabitini ve nüfuz derinliğini hesaplar.
Konu anlatımı
Bağlam: Işık Maddeye Girince Ne Olur?
Doğrusal Ortamda Dalga Denklemi ve Kırılma İndisi
Normal Gelişte Yansıma ve İletim
Eğik Geliş: Yansıma ve Kırılma Yasaları (Snell)
Fresnel Denklemleri ve Polarizasyon
Brewster Açısı
Tam İç Yansıma ve Evanescent Dalga
Çözümlü Örnekler
Grafik Yorumu: Fresnel Eğrileri
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Kırılma indisi (index of refraction)
- Boşluktaki ışık hızının ortamdaki faz hızına oranı: $n=c/v=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\approx\sqrt{\varepsilon_r}$. Frekansa bağlıdır (dispersiyon).
- Faz hızı (phase velocity)
- Doğrusal ortamda $v = 1/\sqrt{\varepsilon\mu}$. Dalganın sabit fazlı noktasının ilerleme hızıdır ve $\omega=kv$ ile $k$'ya bağlıdır.
- Gelme düzlemi (plane of incidence)
- Gelen dalga vektörü $\vec{k}_I$ ile arayüzün normalini içeren düzlem. s ve p polarizasyonları bu düzleme göre tanımlanır.
- Snell yasası
- $n_1\sin\theta_I = n_2\sin\theta_T$: arayüzde dalga vektörünün arayüze paralel bileşeni ($k_x$) korunduğu için çıkan kinematik kırılma yasası.
- Fresnel denklemleri
- Sınır koşullarından gelen, yansıyan ve iletilen genlik oranlarını ($r$, $t$) veren bağıntılar; s ve p polarizasyonu için ayrı ayrıdır. $R=r^2$, $T=\alpha\beta\,t^2$.
- Brewster açısı (Brewster angle)
- p polarize bileşenin yansımadığı açı: $\tan\theta_B=n_2/n_1$. Bu açıda yansıyan ve iletilen ışınlar birbirine diktir ve yansıyan ışık tamamen s polarizedir.
- Kritik açı (critical angle)
- $n_1>n_2$ iken $\sin\theta_c=n_2/n_1$ ile verilen, kırılma açısının $90^\circ$ olduğu gelme açısı. Ötesinde tam iç yansıma oluşur.
- Tam iç yansıma (total internal reflection)
- $\theta_I>\theta_c$ için $R=1$, $T=0$ olması durumu; ortam 2'de enerji ortalamada akmaz, yalnızca evanescent alan bulunur.
- Evanescent dalga
- Tam iç yansımada seyrek ortamda arayüz boyunca ilerleyen ve $e^{-\kappa z}$ ile sönen dalga. Nüfuz derinliği $\delta=1/\kappa\sim\lambda_0$ mertebesindedir.
- Empedans oranı (impedance ratio)
- $\beta=\mu_1v_1/(\mu_2v_2)=Z_1/Z_2$. Normal gelişte $E_{0R}/E_{0I}=(1-\beta)/(1+\beta)$; $\mu_1=\mu_2$ için $\beta=n_2/n_1$.
Örnek soru
Bağıl geçirgenliği $\varepsilon_r = 4$ ve bağıl manyetik geçirgenliği $\mu_r = 1$ olan saydam bir yalıtkanda kırılma indisi $n$ ve elektromanyetik dalganın faz hızı $v$ kaçtır? ($c = 3\times10^8$ m/s)
- $n = 4$, $v = 0{,}75\times10^8$ m/s
- $n = 2$, $v = 1{,}5\times10^8$ m/s
- $n = 2$, $v = 6\times10^8$ m/s
- $n = 0{,}5$, $v = 6\times10^8$ m/s
- $n = 2$, $v = 3\times10^8$ m/s
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $n = 2$, $v = 1{,}5\times10^8$ m/s
1. Doğrusal ortamda $v = 1/\sqrt{\varepsilon\mu}$ ve $n = c/v = \sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$.
2. $n = \sqrt{4\cdot1} = \mathbf{2}$.
3. $v = c/n = 3\times10^8/2 = \mathbf{1{,}5\times10^8\ m/s}$.
Çeldiriciler: $n=4$ karekök almayı unutmaktır ($n=\varepsilon_r$ yazılmış). $v = 6\times10^8$ m/s ise $c$ ile $n$'nin çarpılmasıdır ve $c$'yi aşar; hız madde içinde azalır. $v=c$ seçeneği hızın değişmediğini varsayar, oysa $v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}$ ortama bağlıdır.