Elektromanyetik Teori · 9. Ünite: Elektromanyetik Dalgalar
Soğurma ve Dağılma
Gerçek ortamlarda elektromanyetik dalga yalnızca yol almaz: genliği azalır (soğurma, absorption) ve farklı frekanslar farklı hızlarla ilerler (dağılma, dispersion). Bu bölümde iletkenlerdeki dalgayı karmaşık dalga sayısıyla çözüp deri derinliğini (skin depth) elde edecek, bağlı elektronların Lorentz osilatör modelinden frekansa bağlı $\tilde{\epsilon}(\omega)$ ve karmaşık kırılma indisini türetecek, normal ve anormal dispersiyonu, Cauchy denklemini ve faz/grup hızı ayrımını Griffiths 9.4 düzeyinde inceleyeceğiz.
Öğrenme hedefleri
- İletkende dalga denklemini ($\nabla^2\vec{E}=\mu\epsilon\,\partial_t^2\vec{E}+\mu\sigma\,\partial_t\vec{E}$) kurar, karmaşık dalga sayısını $\tilde{k}=k+iq$ biçiminde çözer.
- Deri derinliğini $\delta=1/q$ olarak hesaplar; iyi iletken sınırında $\delta\approx\sqrt{2/\omega\mu\sigma}$ ve $\vec{B}$ ile $\vec{E}$ arasındaki $45^\circ$ faz farkını yorumlar.
- Bağlı elektron için hareket denkleminden Lorentz osilatör modelini ($\tilde{\epsilon}_r(\omega)=1+\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}\sum_j\frac{f_j}{\omega_j^2-\omega^2-i\gamma_j\omega}$) türetir.
- Karmaşık kırılma indisinden $n(\omega)$, söndürme katsayısı $\kappa(\omega)$ ve soğurma katsayısı $\alpha=2\omega\kappa/c$ değerlerini hesaplar.
- Normal ve anormal dispersiyon bölgelerini ayırt eder, düşük frekansta Cauchy denklemini $n=1+A(1+B/\lambda^2)$ olarak elde eder.
- Faz hızı ile grup hızı ($v_g=c/(n+\omega\,dn/d\omega)$) farkını ve dağılan ortamda dalga paketinin genişlemesini nicel olarak açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Cam Neden Saydam, Bakır Neden Opak?
İletkenlerde Elektromanyetik Dalga: Karmaşık Dalga Sayısı
Deri Derinliği ve İyi / Kötü İletken Sınırları
Frekansa Bağlı Dielektrikler: Lorentz Osilatör Modeli
Karmaşık Kırılma İndisi ve Soğurma Katsayısı
Normal ve Anormal Dispersiyon, Cauchy Denklemi
Faz Hızı, Grup Hızı ve Atım Yayılması
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar, Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Deri derinliği (Skin depth)
- $\delta=1/q$; iletkende dalga genliğinin $e^{-1}$ katına düştüğü uzaklık. İyi iletkende $\delta\approx\sqrt{2/\omega\mu\sigma}=1/\sqrt{\pi f\mu\sigma}$.
- Karmaşık dalga sayısı (Complex wave number)
- $\tilde{k}=k+iq$; gerçek kısım $k$ dalga boyunu ve faz hızını, sanal kısım $q=1/\delta$ üstel sönümü belirler. İletkende $\tilde{k}^2=\mu\epsilon\omega^2+i\mu\sigma\omega$.
- Lorentz osilatör modeli (Lorentz oscillator model)
- Bağlı elektronu doğal frekansı $\omega_0$ ve sönümü $\gamma$ olan sürülen osilatör sayan klasik model; $\tilde{\epsilon}_r(\omega)=1+\frac{Nq^2}{m\epsilon_0}\sum_j f_j/(\omega_j^2-\omega^2-i\gamma_j\omega)$ sonucunu verir.
- Karmaşık kırılma indisi (Complex refractive index)
- $\tilde{n}=\sqrt{\tilde{\epsilon}_r}=n+i\kappa$; $n$ faz hızını ($v_p=c/n$), $\kappa$ (söndürme katsayısı) soğurmayı belirler.
- Soğurma katsayısı (Absorption coefficient)
- $\alpha=2\omega\kappa/c=4\pi\kappa/\lambda_0$; şiddetin $I=I_0e^{-\alpha z}$ ile azalma hızı ($\text{m}^{-1}$). Beer–Lambert yasasında görünür.
- Normal dispersiyon (Normal dispersion)
- Saydam bölgede $dn/d\omega>0$ olması; mavi ışık kırmızıdan daha fazla kırılır ve $v_g<v_p$ olur.
- Anormal dispersiyon (Anomalous dispersion)
- Rezonans yakınında $dn/d\omega<0$ olması; soğurma bandıyla çakışır, $v_g>v_p$ hatta $v_g>c$ görülebilir (sinyal hızı değildir).
- Cauchy denklemi (Cauchy equation)
- Rezonanstan uzak bölgede $n\approx1+A(1+B/\lambda^2)$; Lorentz modelinde $A=Nq^2f/2m\epsilon_0\omega_0^2$ ve $B=4\pi^2c^2/\omega_0^2$.
- Faz hızı ve grup hızı (Phase and group velocity)
- $v_p=\omega/k=c/n$ tepelerin hızıdır; $v_g=d\omega/dk=c/(n+\omega\,dn/d\omega)$ dalga paketi zarfının hızıdır.
- Grup hızı dağılması (Group velocity dispersion)
- $\omega^{\prime\prime}=d^2\omega/dk^2\neq0$ olması; Gauss paketi $\sigma(t)=\sigma_0\sqrt{1+(\omega^{\prime\prime}t/2\sigma_0^2)^2}$ ile genişler.
Örnek soru
İyi bir iletkende ($\sigma\gg\epsilon\omega$) dalganın frekansı $100$ kat artırılırsa deri derinliği $\delta$ nasıl değişir?
- $100$ kat artar
- $10$ kat artar
- Değişmez
- $10$ kat azalır
- $100$ kat azalır
Doğru cevap: D
Çözüm
Cevap: $10$ kat azalır
1. İyi iletken sınırında $\delta\approx\sqrt{2/\omega\mu\sigma}$, yani $\delta\propto\omega^{-1/2}$.
2. Frekans $100$ kat artınca $\delta$, $1/\sqrt{100}=1/10$ katına iner: 10 kat azalır.
Çeldirici: "$100$ kat azalır" yanıtı $\delta\propto1/\omega$ sanmaktan gelir; deri derinliği frekansın kareköküyle ters orantılıdır. "Değişmez" ise yalnızca kötü iletken (dielektrik) sınırında geçerli olan $q\approx(\sigma/2)\sqrt{\mu/\epsilon}$ sonucudur.