Elektromanyetik Teori · 7. Ünite: Elektrodinamik
Madde İçinde Maxwell Denklemleri
Maddenin içinde Maxwell denklemlerini atom atom yazmak mümkün değildir; bunun yerine bağlı yükler ve bağlı akımlar $\vec{D}$ ve $\vec{H}$ alanlarının tanımına gizlenir ve denklemler yalnızca deneyde kontrol edebildiğimiz serbest kaynaklara ($\rho_f$, $\vec{J}_f$) bağlanır. Bu konuda Maxwell denklemlerinin madde içindeki biçimini, kurucu bağıntıları (constitutive relations), iki ortam arasındaki sınır koşullarını ve madde içinde enerji ile Poynting vektörünü (Poynting vector) türetip uygulayacaksınız. (Maxwell's equations in matter: Griffiths 7.3.6 ve 7.4.)
Öğrenme hedefleri
- Toplam yük ve akımı serbest ve bağlı kısımlara ayırarak $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$ ve $\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_f+\partial\vec{D}/\partial t$ denklemlerini türetir.
- Lineer, izotrop ortamda $\vec{D}=\epsilon\vec{E}$, $\vec{H}=\vec{B}/\mu$ ve $\vec{J}_f=\sigma\vec{E}$ bağıntılarını kullanarak $\vec{E}$, $\vec{D}$, $\vec{B}$, $\vec{H}$, $\vec{P}$ ve $\vec{M}$ değerlerini hesaplar.
- Dört sınır koşulunu ($D_\perp$, $E_\parallel$, $B_\perp$, $H_\parallel$) integral denklemlerden türetir ve iki dielektrik ara yüzünde alan çizgilerinin kırılma açısını bulur.
- Madde içindeki enerji yoğunluğunu $u=\tfrac{1}{2}(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H})$ ve Poynting vektörünü $\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}$ ile ifade eder, Poynting teoremini (Poynting's theorem) yazar.
- Ohm yasasını ($\vec{J}_f=\sigma\vec{E}$) Poynting akısıyla birleştirerek akım taşıyan bir telde enerjinin nereden girdiğini ve Joule gücüne eşit olduğunu gösterir.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden D ve H Alanları?
Maxwell Denklemlerinin Madde İçindeki Biçimi
Kurucu Bağıntılar: Ortamın Tepkisi ve Ohm Yasası
Sınır Koşulları (Boundary Conditions)
Enerji ve Poynting Vektörü Madde İçinde
Ohm Yasası, Joule Isısı ve Telde Poynting Akısı
Çözümlü Örnekler
Alanların Sürekliliği: Özet Tablo
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Elektrik deplasman alanı $\vec{D}$ (electric displacement)
- $\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$; diverjansı yalnızca serbest yüke eşittir ($\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$). Lineer ortamda $\vec{D}=\epsilon\vec{E}$.
- Yardımcı manyetik alan $\vec{H}$ (auxiliary field)
- $\vec{H}=\vec{B}/\mu_0-\vec{M}$; rotasyoneli serbest akım ve deplasman akısından gelir ($\nabla\times\vec{H}=\vec{J}_f+\partial_t\vec{D}$). Lineer ortamda $\vec{H}=\vec{B}/\mu$.
- Serbest ve bağlı kaynaklar (free and bound sources)
- Serbest: $\rho_f$, $\vec{J}_f$ (bataryanın, kablonun sağladığı). Bağlı: $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$, $\vec{J}_b=\nabla\times\vec{M}$ ve $\vec{J}_p=\partial\vec{P}/\partial t$ (maddenin kutuplanma ve mıknatıslanma tepkisi).
- Kurucu bağıntılar (constitutive relations)
- Maddenin tepkisini veren denklemler: $\vec{D}=\epsilon\vec{E}$, $\vec{H}=\vec{B}/\mu$, $\vec{J}_f=\sigma\vec{E}$. Lineer, izotrop, homojen ortamda skaler katsayılarla yazılır.
- Sınır koşulları (boundary conditions)
- $D_{1\perp}-D_{2\perp}=\sigma_f$, $\vec{E}_{1\parallel}=\vec{E}_{2\parallel}$, $B_{1\perp}=B_{2\perp}$, $\vec{H}_{1\parallel}-\vec{H}_{2\parallel}=\vec{K}_f\times\hat{n}$.
- Poynting vektörü $\vec{S}$ (Poynting vector)
- Madde içinde birim zamanda ve birim alandan geçen elektromanyetik enerji akısı: $\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}$.
- Enerji yoğunluğu $u$ (energy density)
- Lineer ortamda $u=\tfrac12(\vec{D}\cdot\vec{E}+\vec{B}\cdot\vec{H})=\tfrac12(\epsilon E^2+B^2/\mu)$. Vakum formülünden $\epsilon_0\to\epsilon$ ve $\mu_0\to\mu$ farklıdır.
- Ohm yasası (Ohm's law)
- Serbest akım yoğunluğu alanla orantılıdır: $\vec{J}_f=\sigma\vec{E}$. Telde $\oint\vec{S}\cdot d\vec{a}=I^2R$ (Joule gücü).
- Alınganlık (susceptibility)
- $\vec{P}=\epsilon_0\chi_e\vec{E}$ ve $\vec{M}=\chi_m\vec{H}$ ile tanımlanır; $\epsilon_r=1+\chi_e$, $\mu_r=1+\chi_m$.
Örnek soru
Maxwell denklemleri madde içinde yalnızca serbest yükler ($\rho_f$) cinsinden yazılmak istenirse Gauss yasası hangi biçimi alır?
- $\nabla\cdot\vec{E}=\rho_f/\epsilon_0$
- $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_b$
- $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$
- $\nabla\cdot\vec{B}=\rho_f$
- $\nabla\cdot\vec{P}=\rho_f$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: C
1. Toplam yük $\rho=\rho_f+\rho_b$ ve bağlı yük $\rho_b=-\nabla\cdot\vec{P}$'dir.
2. $\nabla\cdot\vec{E}=(\rho_f-\nabla\cdot\vec{P})/\epsilon_0$ düzenlenirse $\nabla\cdot(\epsilon_0\vec{E}+\vec{P})=\rho_f$ olur.
3. $\vec{D}=\epsilon_0\vec{E}+\vec{P}$ tanımıyla $\nabla\cdot\vec{D}=\rho_f$ elde edilir.
A şıkkı yalnızca $\rho_b$ ihmal edilebildiğinde (boşlukta) doğrudur; B şıkkı $\rho_f$ ile $\rho_b$'yi karıştırır, D şıkkı ise manyetik Gauss yasasını bozar ($\nabla\cdot\vec{B}=0$).