Elektromanyetik Teori · 7. Ünite: Elektrodinamik
Maxwell Denklemleri
Elektrik ve manyetik alanların tüm klasik davranışı dört denkleme sığar: Gauss, manyetik Gauss, Faraday ve Maxwell tarafından düzeltilen Ampère yasası. Bu bölümde Ampère yasasının neden eksik olduğunu yük korunumu üzerinden göstereceğiz, yerdeğiştirme akımını (displacement current) türeteceğiz, dört denklemi integral ve diferansiyel biçimde yazacağız, süreklilik denklemini ve arayüz sınır koşullarını çıkaracağız ve denklemleri maddede (serbest ve bağlı kaynaklar ayrımıyla) yeniden formüle edeceğiz.
Öğrenme hedefleri
- Ampère yasasının $\nabla\cdot\mathbf{J}\neq 0$ olan durumlarda yük korunumuyla çeliştiğini gösterir ve Maxwell düzeltmesini $\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$ olarak türetir.
- Şarj olan bir kondansatörde levhalar arasındaki yerdeğiştirme akımını ve oluşan manyetik alanı $\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0(I+I_d)$ ile hesaplar.
- Maxwell'in dört denklemini integral ve diferansiyel biçimde yazar; her birinin fiziksel anlamını ve kaynağını (yük, akım, değişen alan) açıklar.
- Süreklilik denklemini $\nabla\cdot\mathbf{J}=-\partial\rho/\partial t$ Maxwell denklemlerinden türetir ve yerel yük korunumuna uygular.
- İki ortam arasındaki arayüzde $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{D}$ ve $\mathbf{H}$ için sınır koşullarını yazar ve kırılma problemlerini çözer.
- Maddede Maxwell denklemlerini serbest ve bağlı yük/akım ayrımıyla ($\mathbf{D}$, $\mathbf{H}$, $\mathbf{J}_p=\partial\mathbf{P}/\partial t$) yorumlar ve vakumda $c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$ ile dalga çözümüne bağlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Dört Denkleme Giden Yol
Ampère Yasasındaki Çelişki ve Yerdeğiştirme Akımı
Şarj Olan Kondansatör: İki Yüzey, Tek Doğru
Maxwell'in Dört Denklemi
Süreklilik Denklemi ve Yük Korunumu
Sınır Koşulları (Boundary Conditions)
Maddede Maxwell Denklemleri
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Yerdeğiştirme akımı (Displacement current)
- Maxwell'in Ampère yasasına eklediği $\mathbf{J}_d=\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$ terimi; integral biçimde $I_d=\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$. Yük taşımaz ama $\mathbf{B}$ üretir.
- Ampère–Maxwell yasası (Ampère–Maxwell law)
- $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$; manyetik alanın hem iletim akımından hem de değişen elektrik alandan doğduğunu söyler.
- Maxwell denklemleri (Maxwell's equations)
- Gauss (elektrik), Gauss (manyetik), Faraday ve Ampère–Maxwell yasalarından oluşan, klasik elektromanyetizmanın tamamını Lorentz kuvvetiyle birlikte tanımlayan denklem takımı.
- Süreklilik denklemi (Continuity equation)
- $\nabla\cdot\mathbf{J}=-\partial\rho/\partial t$; yük korunumunun yerel ifadesidir ve Maxwell denklemlerinden türetilebilir.
- Sınır koşulları (Boundary conditions)
- Arayüzde $E^{\perp}$ farkı $\sigma/\varepsilon_0$, $\mathbf{E}^{\parallel}$ ve $B^{\perp}$ süreklidir, $\mathbf{B}^{\parallel}$ farkı $\mu_0\,\mathbf{K}\times\hat{\mathbf{n}}$ kadardır.
- Elektriksel yerdeğiştirme alanı (Electric displacement, D)
- $\mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}$; kaynağı yalnızca serbest yüklerdir: $\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f$. Doğrusal ortamda $\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}$.
- Yardımcı manyetik alan (H field)
- $\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M}$; dolanımı yalnızca serbest akım ve $\partial\mathbf{D}/\partial t$ ile belirlenir: $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_f+\partial\mathbf{D}/\partial t$.
- Polarizasyon akımı (Polarization current)
- $\mathbf{J}_p=\partial\mathbf{P}/\partial t$; dielektrikte dipollerin hareketinden doğan bağlı akım. $\partial\mathbf{D}/\partial t$ içinde yerdeğiştirme akımıyla birlikte bulunur.
- Gevşeme zamanı (Relaxation time)
- İletken ortamda fazla yükün $e^{-t/\tau}$ ile sönme süresi, $\tau=\varepsilon/\sigma$; süreklilik denklemi, Ohm ve Gauss yasalarının birleşiminden çıkar.
Örnek soru
Maxwell'in Ampère yasasına eklediği yerdeğiştirme terimini içeren ve vakumdaki doğru diferansiyel denklem aşağıdakilerden hangisidir?
- $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}-\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
- $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\,\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
- $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
- $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\varepsilon_0\,\dfrac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$
- $\nabla\times\mathbf{E}=\mu_0\mathbf{J}-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$
1. Süreklilik denklemi $\nabla\cdot\mathbf{J}=-\partial\rho/\partial t$ ve Gauss yasası $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\mathbf{E}$ birleşince $\nabla\cdot(\mathbf{J}+\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t)=0$ bulunur.
2. Ampère yasasındaki $\mathbf{J}$, bu toplamla değiştirilir ve eşitliğin her iki yanı $\mu_0$ ile çarpılır: $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t$.
Çeldiriciler: eksi işaretli seçenek yönü ters yazar, $\partial\mathbf{B}/\partial t$ içeren seçenek Faraday yasasının terimini karıştırır, $\mu_0$'sız terim ise boyut bakımından tutarsızdır ($\mu_0\mathbf{J}$ ile aynı birimde olmaz).