Elektromanyetik Teori · 6. Ünite: Madde İçinde Manyetik Alan
Mıknatıslanmış Cismin Manyetik Alanı
Bir mıknatısın içindeki ve çevresindeki manyetik alanı, mıknatıslanma (magnetization) $\mathbf{M}$ biliniyorsa nasıl hesaplarız? Cevap şaşırtıcı biçimde basittir: $\mathbf{M}$ dağılımı, hacimde $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$ ve yüzeyde $\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$ olan bağlı akımlara (bound currents) eşdeğerdir ve alan, bu akımların Biot-Savart ya da Ampère yasasıyla bulunan alanıdır. Bu konuda bağlı akımları vektör potansiyelden türetecek, düzgün mıknatıslanmış kürenin içinde $\tfrac{2}{3}\mu_0 M$ büyüklüğünde düzgün, dışında ise dipol alanı verdiğini gösterecek, sonucu polarize küreyle karşılaştıracak ve çubuk mıknatısı eşdeğer solenoid olarak çözeceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir mıknatıslanma dağılımının vektör potansiyelini hacim ve yüzey integrallerine ayırarak $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$ ve $\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$ ifadelerini türetir.
- Düzgün mıknatıslanmış bir kürenin yüzey akımını $K_b=M\sin\theta$ olarak bulur; iç alanın $\mathbf{B}=\tfrac{2}{3}\mu_0\mathbf{M}$ ve dış alanın $m=\tfrac{4}{3}\pi R^3M$ momentli dipol alanı olduğunu gösterir.
- Küre yüzeyindeki sınır koşullarını ($B_\perp$ süreklidir, $B_\parallel$ sıçraması $\mu_0K_b$'dir) kullanarak iç ve dış çözümün tutarlılığını sınar.
- Mıknatıslanmış küre ile polarize küreyi karşılaştırır; $\mathbf{H}\leftrightarrow\mathbf{E}$ eşlemesini kurar ve $\mathbf{B}$ ile $\mathbf{H}$ arasındaki $\mu_0\mathbf{M}$ farkının iç bölgedeki yön farkını açıkladığını gösterir.
- Düzgün mıknatıslanmış çubuğu eşdeğer solenoid olarak modeller; eksen üzerindeki $B_z(z)$ ifadesinden merkez ve kutup yüzeyi alanını hesaplar.
- Düzgün olmayan bir $\mathbf{M}$ için hem $\mathbf{J}_b$ hem $\mathbf{K}_b$ değerini bulup Ampère yasasıyla $\mathbf{B}$'yi hesaplar.
Konu anlatımı
1. Problem: Mıknatısın Alanı Nasıl Bulunur?
2. Bağlı Akımların Türetilmesi
3. Bağlı Akımların Fiziksel Resmi
4. Düzgün Mıknatıslanmış Küre
5. Polarize Küre ile Karşılaştırma
6. Çubuk Mıknatıs: Eşdeğer Solenoid
7. Çözümlü Örnekler
8. Grafik ve Tablo Yorumu: Simülasyonda Dene
9. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
10. Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Bağlı akım (bound current)
- Mıknatıslanmış maddede atomik akım halkalarının makroskobik toplamından doğan akım; hacimde $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$, yüzeyde $\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$. Ampermetreyle ölçülmez ama alan üretir.
- Mıknatıslanma (magnetization)
- Birim hacim başına manyetik dipol momenti $\mathbf{M}=d\mathbf{m}/d\tau$ (A/m). Düzgün ise içerideki halkalar birbirini götürür.
- Yüzey bağlı akım (surface bound current)
- $\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$; yüzeye teğet ve $\mathbf{M}$'ye dik. $\mathbf{M}$ yüzeye dik olduğunda sıfırdır (çubuk mıknatısın uçları).
- Mıknatıslanmış küre (uniformly magnetized sphere)
- $K_b=M\sin\theta$ taşır; içinde $\mathbf{B}=\tfrac{2}{3}\mu_0\mathbf{M}$ düzgün, dışında $m=\tfrac{4}{3}\pi R^3M$ momentli dipol alanı.
- Manyetik dipol alanı (magnetic dipole field)
- $\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{m}{r^3}(2\cos\theta\,\hat{r}+\sin\theta\,\hat{\theta})$; alan $r^{-3}$ ile azalır, çizgiler $r=r_0\sin^2\theta$ ilmekleridir.
- Demanyetizasyon alanı (demagnetizing field)
- Mıknatısın içindeki $\mathbf{H}$ alanı; $\mathbf{M}$'ye zıt yönlüdür. Kürede $\mathbf{H}=-\mathbf{M}/3$ (demanyetizasyon faktörü $1/3$).
- Eşdeğer solenoid (equivalent solenoid)
- Düzgün mıknatıslanmış çubuk, yan yüzey akımı $K_b=M$ taşıyan solenoid gibi davranır ($nI=M$, toplam akım $ML$).
- Alan çizgileri ve $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$
- Manyetik alan çizgileri hiçbir yerde başlamaz ya da bitmez, kapalı ilmekler oluşturur; $\mathbf{H}$ ve $\mathbf{E}$ çizgileri ise yüzey kaynaklarda (manyetik/elektrik) başlayıp biter.
Örnek soru
Mıknatıslanması $\mathbf{M}$ olan bir cismin hacim ve yüzey bağlı akım yoğunlukları aşağıdakilerden hangisidir? ($\hat{n}$: yüzeyin dışa bakan birim normali)
- $\mathbf{J}_b=\nabla\cdot\mathbf{M},\quad \mathbf{K}_b=\mathbf{M}\cdot\hat{n}$
- $\mathbf{J}_b=\mathbf{M}\times\hat{n},\quad \mathbf{K}_b=\nabla\times\mathbf{M}$
- $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M},\quad \mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$
- $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M},\quad \mathbf{K}_b=\hat{n}\times\mathbf{M}$
- $\mathbf{J}_b=\mu_0\nabla\times\mathbf{M},\quad \mathbf{K}_b=\mu_0\mathbf{M}\times\hat{n}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Mıknatıslanmış cismin vektör potansiyeli $\mathbf{A}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{\mathbf{M}\times\hat{\mathbf{s}}}{s^2}\,d\tau'$ ile başlar; $\nabla'(1/s)=\hat{\mathbf{s}}/s^2$ ve çarpım kuralı uygulanınca iki integral ortaya çıkar.
2. Hacim integrali $\nabla\times\mathbf{M}$, yüzey integrali $\mathbf{M}\times\hat{n}$ içerir: $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$, $\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$.
3. Birimler: $\mathbf{M}$ A/m olduğundan $\mathbf{J}_b$ A/m², $\mathbf{K}_b$ A/m çıkar; $\mu_0$ çarpanı gerekmez (E şıkkı).
Çeldiriciler: A şıkkı yük yoğunluklarının biçimidir ($\rho_b=-\nabla\cdot\mathbf{P}$). D şıkkı sıra değiştiği için akımı ters yöne çevirir.