Elektromanyetik Teori · 6. Ünite: Madde İçinde Manyetik Alan
Yardımcı Alan H
Bir demir çekirdekli bobinin içindeki $\mathbf{B}$ alanını hesaplamak istediğimizde, çekirdeğin atomik akım halkalarının (bağlı akımların) önceden bilinmediğini görürüz: bu akımlar alana bağlıdır, alan da onlara. Bu konuda Ampère yasasını bağlı akımlardan arındıran yardımcı alan (auxiliary field) $\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M}$ tanımlanır; $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_f$ ve $\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{f,\text{çevrel}}$ bağıntıları elde edilir, $\mathbf{B}$ ve $\mathbf{H}$ için sınır koşulları çıkarılır, $\mathbf{H}$'nin ne zaman işe yaradığı ve ne zaman yanıltıcı olduğu tartışılır. Sonunda mıknatıslanmış cismin kendi içinde oluşturduğu ve $\mathbf{M}$'ye ters yönlü olan demanyetizasyon alanı (demagnetizing field) hesaplanır.
Öğrenme hedefleri
- $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{J}_f+\mathbf{J}_b)$ ve $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$ bağıntılarından $\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M}$ tanımını ve $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_f$ denklemini türetir.
- Silindirik ve toroidal simetrideki serbest akım dağılımları için $\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{f,\text{çevrel}}$ ile $\mathbf{H}$'yi, malzeme bilgisiyle de $\mathbf{B}$, $\mathbf{M}$ ve bağlı akımları hesaplar.
- $\mathbf{B}_\perp$ ve $\mathbf{H}_\parallel$ için sınır koşullarını (pillbox ve Ampère ilmeği ile) türetir; doğrusal ortamlarda alan çizgisinin kırılma yasasını $\tan\theta_2=(\mu_{r2}/\mu_{r1})\tan\theta_1$ olarak uygular.
- $\nabla\cdot\mathbf{H}=-\nabla\cdot\mathbf{M}$ nedeniyle $\mathbf{H}$'nin yalnızca $\mathbf{J}_f$ ile belirlenemeyeceğini gösterir; Ampère yasasının $\mathbf{H}$ için hangi simetrilerde yeterli olduğunu ayırt eder.
- Düzgün mıknatıslanmış küre, ince disk ve uzun çubuk için demanyetizasyon çarpanını ($N=\tfrac{1}{3},\,1,\,0$) kullanarak $\mathbf{H}_d=-N\mathbf{M}$ ve $\mathbf{B}$'yi hesaplar.
- $\mathbf{B}$ ile $\mu_0\mathbf{H}$ arasındaki $\mu_0\mathbf{M}$ farkını yorumlayarak $\mathbf{H}$ ile $\mathbf{E}$ arasındaki (elektrostatikteki $\mathbf{D}$ ile) benzerliklerin ve ayrılıkların sınırını belirtir.
Konu anlatımı
1. Problem: Ampère Yasası Madde İçinde Neden Zorlaşır?
2. Ampère Yasası ve H'nin Tanımı
3. H ve B: Ne Zaman Yararlı, Ne Zaman Yanıltıcı?
4. Çözümlü Örnekler: Simetrik Düzenlerde H
5. H ve B için Sınır Koşulları
6. Demanyetizasyon Alanı (Demagnetizing Field)
7. Sık Yapılan Hatalar ve Simülasyona Köprü
Anahtar terimler
- Yardımcı alan H (Auxiliary field)
- $\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M}$ ile tanımlanan, rotasyoneli yalnızca serbest akım yoğunluğuna eşit olan vektör alanı; birimi A/m'dir.
- Serbest akım (Free current)
- Gerçek yük taşıyıcılarının (iletim elektronlarının) hareketinden doğan, devreden kontrol edilebilen ve ölçülebilen akım; $\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_f$ denkleminin kaynağıdır.
- Bağlı akım (Bound current)
- Mıknatıslanmadan doğan $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$ ve $\mathbf{K}_b=\mathbf{M}\times\hat{n}$ akımları; $\mathbf{B}$'yi etkiler, fakat $\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}$'de görünmez.
- Ampère yasası (maddede) (Ampère's law in matter)
- $\oint\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I_{f,\text{çevrel}}$; yalnızca serbest akımı sayar ve yeterli simetride $\mathbf{H}$'yi doğrudan verir.
- Sınır koşulları (Boundary conditions)
- Arayüzde $B_\perp$ süreklidir; $\mathbf{H}_{1\parallel}-\mathbf{H}_{2\parallel}=\mathbf{K}_f\times\hat{n}$; $H_\perp$ ise $-\Delta M_\perp$ kadar sıçrar.
- Demanyetizasyon alanı (Demagnetizing field)
- Mıknatıslanmış cismin kendi yüzey manyetik yüklerinden doğan, cisim içinde $\mathbf{M}$'ye ters yönlü $\mathbf{H}_d=-N\mathbf{M}$ alanı.
- Demanyetizasyon çarpanı (Demagnetization factor)
- Geometriye bağlı $0\le N\le1$ katsayısı; küre için $1/3$, uzun iğne için $0$, ince disk (dik $\mathbf{M}$) için $1$; üç eksende toplamı $1$'dir.
- Manyetik yük yoğunluğu (Magnetic pole density)
- $\rho_m=-\nabla\cdot\mathbf{M}$ (hacim), $\sigma_m=\mathbf{M}\cdot\hat{n}$ (yüzey); $\nabla\cdot\mathbf{H}=\rho_m$ olduğundan $\mathbf{H}$'nin fiktif kaynakları.
- Bağıl geçirgenlik (Relative permeability)
- Doğrusal ortamda $\mathbf{B}=\mu_0\mu_r\mathbf{H}$ ile tanımlı, $\mu_r=1+\chi_m$ olan boyutsuz katsayı.
Örnek soru
Maddede Ampère yasasının diferansiyel biçimi $\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0(\mathbf{J}_f+\mathbf{J}_b)$ ve bağlı akım $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$ ise, yalnızca serbest akıma bağlı olan yardımcı alan $\mathbf{H}$ aşağıdakilerden hangisiyle tanımlanır?
- $\mathbf{H}=\dfrac{\mathbf{B}}{\mu_0}+\mathbf{M}$
- $\mathbf{H}=\mu_0\,(\mathbf{B}-\mathbf{M})$
- $\mathbf{H}=\dfrac{\mathbf{B}}{\mu_0}-\mathbf{M}$
- $\mathbf{H}=\mathbf{B}-\mu_0\mathbf{M}$
- $\mathbf{H}=\mu_0\mathbf{B}-\mathbf{M}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Ampère yasasında $\mathbf{J}_b=\nabla\times\mathbf{M}$ yerine konur: $\nabla\times\mathbf{B}/\mu_0=\mathbf{J}_f+\nabla\times\mathbf{M}$.
2. $\nabla\times\mathbf{M}$ sol tarafa alınırsa $\nabla\times(\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M})=\mathbf{J}_f$ bulunur.
3. Parantez içindeki büyüklük tanım gereği $\mathbf{H}$'dir: $\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu_0-\mathbf{M}$.
Birim kontrolü de bunu doğrular: $\mathbf{B}/\mu_0$ ve $\mathbf{M}$ A/m cinsindendir. $\mathbf{B}/\mu_0+\mathbf{M}$ biçimindeki seçenek $\mathbf{M}$'nin işaretini yanlış alan en güçlü çeldiricidir; bu ifade $\mathbf{B}$'yi verir ve bağlı akımları da içerir.