Elektromanyetik Teori · 8. Ünite: Korunum Yasaları
Momentumun Korunumu
Newton'un üçüncü yasası ("etki–tepki") elektrodinamikte, yalnızca parçacıkların momentumuna bakıldığında bozulur: hareketli iki yük arasındaki manyetik kuvvetler eşit ve zıt olmak zorunda değildir. Kurtarıcı fikir, momentumun alanlarda da depolanmasıdır: birim hacimdeki elektromanyetik momentum $\vec{g}=\epsilon_0(\vec{E}\times\vec{B})=\vec{S}/c^2$ ile verilir. Bu bölümde momentum korunumunu Maxwell gerilme tensörü (Maxwell stress tensor) diliyle kurar, radyasyon basıncını ve alanların taşıdığı açısal momentumu hesaplar, gizli momentum ve Feynman diski gibi görünürde paradoks yaratan örnekleri korunum yasalarıyla çözeriz (Griffiths, Bölüm 8.2).
Öğrenme hedefleri
- İki hareketli yük arasındaki elektromanyetik kuvvetlerin Newton'un üçüncü yasasını neden sağlamadığını sayısal bir örnekle gösterir ve eksik momentumun alanlarda depolandığını açıklar.
- Momentum yoğunluğunu $\vec{g}=\epsilon_0(\vec{E}\times\vec{B})=\vec{S}/c^2$ biçiminde yazar; verilen $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ alanları için bir hacimdeki toplam alan momentumunu hesaplar.
- Maxwell gerilme tensörünün $T_{ij}$ bileşenlerini yazar ve momentum korunumunu $\partial\vec{g}/\partial t=\nabla\cdot\overleftrightarrow{T}-\vec{f}$ biçiminde yorumlar.
- Soğurucu ve yansıtıcı yüzeyler için (dik ve eğik gelişte) radyasyon basıncını ve ışık basıncının uyguladığı kuvveti hesaplar.
- Alanlarda depolanan açısal momentumu $\vec{\ell}=\vec{r}\times\vec{g}$ ile hesaplar; koaksiyel silindirler örneğinde $L=-\tfrac{1}{2}QB(b^2-a^2)$ sonucunu türetir ve Feynman diski paradoksunu çözer.
- Durgun bir yük–mıknatıs sisteminde alan momentumunun gizli momentumla (hidden momentum) dengelendiğini ve toplam momentumun sıfır olduğunu gösterir.
Konu anlatımı
Bağlam: Newton'un Üçüncü Yasası Elektrodinamikte Başarısız Olur mu?
Alanın Momentum Yoğunluğu: g = ε₀ (E × B) = S / c²
Momentum Korunumu ve Maxwell Gerilme Tensörü (Kısa Tanıtım)
Radyasyon Basıncı
Alanlarda Depolanan Açısal Momentum
Feynman Diski Paradoksu
Gizli Momentum ve Durgun Yük–Mıknatıs Sistemi
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Momentum yoğunluğu (Momentum density, g)
- Elektromanyetik alanın birim hacimde taşıdığı momentum: $\vec{g}=\epsilon_0(\vec{E}\times\vec{B})=\vec{S}/c^2$. Birimi $\text{N·s/m}^3$.
- Poynting vektörü (Poynting vector, S)
- Elektromanyetik enerji akı yoğunluğu $\vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}(\vec{E}\times\vec{B})$; momentum yoğunluğuyla $\vec{g}=\vec{S}/c^2$ ilişkisi vardır.
- Maxwell gerilme tensörü (Maxwell stress tensor, T)
- $T_{ij}=\epsilon_0(E_iE_j-\tfrac{1}{2}\delta_{ij}E^2)+\dfrac{1}{\mu_0}(B_iB_j-\tfrac{1}{2}\delta_{ij}B^2)$; alanların uyguladığı kuvvet ve momentum akısını tek bir $3\times3$ nesnede toplar; $-\overleftrightarrow{T}$ momentum akı yoğunluğudur.
- Radyasyon basıncı (Radiation pressure)
- Işığın bir yüzeye uyguladığı basınç: soğurucu yüzeyde $I/c$, yansıtıcı yüzeyde (dik geliş) $2I/c$, eğik gelişte yansıtıcıda $2I\cos^2\theta/c$.
- Alanın açısal momentumu (Field angular momentum)
- $\vec{\ell}=\vec{r}\times\vec{g}$ yoğunluğuyla alanda depolanan açısal momentum; koaksiyel silindirlerde $L=-\tfrac{1}{2}QB(b^2-a^2)$.
- Gizli momentum (Hidden momentum)
- Elektrik alan içindeki akım halkasının (manyetik dipolün) taşıdığı mekanik momentum $\vec{p}=\dfrac{1}{c^2}\vec{m}\times\vec{E}$; durgun yük–mıknatıs sisteminde alan momentumunu dengeler.
- Feynman diski paradoksu (Feynman disk paradox)
- Solenoid akımı kesilince, çevresindeki yüklü diskin kendiliğinden dönmesi; açısal momentum alanda depolanmış $L_{em}$'den gelir ve toplam açısal momentum korunur.
- Momentumun korunumu (Conservation of momentum)
- $\dfrac{d}{dt}(\vec{p}_{mek}+\vec{p}_{em})=\oint\overleftrightarrow{T}\cdot d\vec{a}$; yüzeyden momentum akışı yoksa mekanik ve alan momentumunun toplamı sabittir.
Örnek soru
Boşlukta, $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ alanlarının bulunduğu bir bölgede elektromanyetik alanın birim hacimde taşıdığı momentum (momentum yoğunluğu) $\vec{g}$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $\mu_0\,(\vec{E}\times\vec{B})$
- $\epsilon_0\,(\vec{E}\times\vec{B})$
- $\dfrac{1}{\mu_0}\,(\vec{E}\times\vec{B})$
- $\epsilon_0\,(\vec{E}\cdot\vec{B})$
- $\dfrac{\epsilon_0E^2}{c}\,\hat{k}$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $\vec{g}=\epsilon_0(\vec{E}\times\vec{B})$
1. Poynting vektörü $\vec{S}=\dfrac{1}{\mu_0}(\vec{E}\times\vec{B})$ enerji akısıdır; momentum yoğunluğu ise $\vec{g}=\vec{S}/c^2$ olduğundan $\vec{g}=\dfrac{1}{\mu_0c^2}(\vec{E}\times\vec{B})$.
2. $\mu_0\epsilon_0=1/c^2$ olduğundan $\dfrac{1}{\mu_0c^2}=\epsilon_0$ ve sonuç $\vec{g}=\mathbf{\epsilon_0(\vec{E}\times\vec{B})}$ olur.
Çeldiriciler: $\dfrac{1}{\mu_0}(\vec{E}\times\vec{B})$ Poynting vektörünün kendisidir (enerji akısı), $\mu_0(\vec{E}\times\vec{B})$ yanlış sabittir, $\epsilon_0(\vec{E}\cdot\vec{B})$ skalerdir ve momentum (vektör) olamaz.