Elektromanyetik Teori · 12. Ünite: Elektrodinamik ve Görelilik
Relativistik Elektrodinamik
Bir gözlemcinin yalnızca elektrik alan gördüğü bir bölgede, ona göre hareket eden başka bir gözlemci hem elektrik hem manyetik alan ölçer. Bu, elektrik ve manyetik alanların birbirinden bağımsız iki fiziksel gerçeklik olmadığını, tek bir elektromanyetik alanın iki yüzü olduğunu gösterir. Bu konuda $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ alanlarının Lorentz dönüşümü altında nasıl karıştığını türetecek, alan tensörü $F^{\mu\nu}$ ile tek bir nesnede toplayacak, manyetizmanın elektrostatiğin göreli bir sonucu olduğunu iki örnekte göreceksin ve her gözlemcinin aynı değeri bulduğu değişmezleri ($E^2-c^2B^2$ ve $\vec{E}\cdot\vec{B}$) kullanarak alan kümelerini sınıflandıracaksın.
Öğrenme hedefleri
- Bir Lorentz itmesi altında $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ alanlarının hız doğrultusuna paralel ve dik bileşenlerinin dönüşüm kurallarını yazar ve bileşen bileşen uygular.
- Durgun bir noktasal yükün alanını hareketli bir gözlemci çerçevesine dönüştürerek alan çizgilerinin neden hareket yönünde yassılaştığını ve manyetik alanın nereden çıktığını açıklar.
- Alan tensörünü $F^{\mu\nu}$ ve dual tensörünü $G^{\mu\nu}$ yazar, $\bar{F}=\Lambda F \Lambda^{T}$ dönüşümünden alan bileşenlerinin dönüşüm kurallarını elde eder.
- Aynı yönde hareket eden iki yük demetinin durgun çerçevedeki saf elektrik itmesinden laboratuvar çerçevesindeki elektrik ve manyetik kuvvetleri hesaplar ve net kuvvetin $1/\gamma$ ile ölçeklendiğini gösterir.
- $E^2-c^2B^2$ ve $\vec{E}\cdot\vec{B}$ değişmezlerini hesaplar; bunların işaretinden saf elektrik, saf manyetik ya da düzlem dalga türü bir çerçevenin var olup olmadığına karar verir.
- Düzlem dalga için alanların itme altındaki dönüşümünü Doppler çarpanı $\sqrt{(1-\beta)/(1+\beta)}$ ile ilişkilendirir.
Konu anlatımı
Bağlam: Aynı Olay, İki Farklı Alan Dili
Alanların Lorentz Dönüşümü
Çözümlü Örnek 1: Saf Elektrik Alan Hareketli Çerçevede
Hareketli Noktasal Yükün Alanı
Manyetizma Göreli Bir Etkidir
Alan Tensörü ve Dual Tensör
Lorentz Değişmezleri ve Alan Sınıflandırması
Özet Tablo, Yaygın Hatalar ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Lorentz itmesi (Lorentz boost)
- İki eylemsiz çerçeve arasında göreli hız $v$ ile yapılan, uzay-zaman koordinatlarının hiperbolik döndürülmesi; $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$, $\beta=v/c$.
- Alan dönüşümü (field transformation)
- Hareket doğrultusuna dik bileşenler için $\vec{E}'_\perp=\gamma(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})_\perp$, $\vec{B}'_\perp=\gamma(\vec{B}-\vec{v}\times\vec{E}/c^2)_\perp$; paralel bileşenler değişmez.
- Elektromanyetik alan tensörü (electromagnetic field tensor)
- $\vec{E}$ ve $\vec{B}$'yi birleştiren, anti-simetrik $4\times4$ matris $F^{\mu\nu}$; $\bar{F}=\Lambda F \Lambda^{T}$ ile dönüşür.
- Dual tensör (dual tensor)
- $G^{\mu\nu}$: $\vec{E}/c\to\vec{B}$ ve $\vec{B}\to-\vec{E}/c$ değişimiyle $F^{\mu\nu}$'den elde edilen tensör; $\partial_\mu G^{\mu\nu}=0$ homojen Maxwell denklemlerini verir.
- Lorentz değişmezi (Lorentz invariant)
- Tüm eylemsiz gözlemcilerin aynı değeri bulduğu nicelik; elektromanyetizmada $E^2-c^2B^2$ ve $\vec{E}\cdot\vec{B}$.
- Göreli manyetizma (magnetism as a relativistic effect)
- Manyetik kuvvetin, durgun çerçevedeki Coulomb kuvvetinin Lorentz büzülmesi ve zaman genişlemesiyle yeniden yorumlanması; iki demet örneğinde $F_B=\beta^2F_E$.
- Boş alan (null field)
- $E^2-c^2B^2=0$ ve $\vec{E}\cdot\vec{B}=0$ olan alan, örneğin düzlem dalga; hiçbir çerçevede $\vec{E}$ ya da $\vec{B}$ sıfırlanamaz.
- Dört akım (four-current)
- $J^\mu=(c\rho,\vec{J})$; yük yoğunluğu zaman bileşeni, akım yoğunluğu uzay bileşenleridir. Maxwell denklemi $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0 J^\nu$.
Örnek soru
$\bar{S}$ çerçevesi, $S$ çerçevesine göre $+x$ yönünde $v$ hızıyla hareket ediyor. Elektrik ve manyetik alanın Lorentz dönüşümü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
- Hız doğrultusuna dik bileşenler değişmez, paralel bileşenler $\gamma$ ile çarpılır.
- $E_x$ ve $B_x$ değişmez; $E_y, E_z, B_y, B_z$ bileşenleri $\gamma$ çarpanı alır ve diğer alandan bir katkı gelir.
- Yalnızca $\vec{E}$ dönüşür, $\vec{B}$ her çerçevede aynı kalır.
- Tüm altı bileşen aynı $\gamma$ çarpanıyla ölçeklenir, karışma olmaz.
- Alanlar yalnızca $v\to c$ limitinde dönüşür; düşük hızda dönüşüm yoktur.
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $E_x$ ve $B_x$ değişmez; dik bileşenler $\gamma$ çarpanıyla ve diğer alandan gelen bir katkıyla dönüşür.
1. Hız $x$ yönünde olduğundan paralel bileşenler $E_x$ ve $B_x$'tir: $\bar{E}_x=E_x$, $\bar{B}_x=B_x$.
2. Dik bileşenler $\bar{E}_y=\gamma(E_y-vB_z)$, $\bar{E}_z=\gamma(E_z+vB_y)$, $\bar{B}_y=\gamma(B_y+vE_z/c^2)$, $\bar{B}_z=\gamma(B_z-vE_y/c^2)$ biçimindedir; yani $\gamma$ çarpanı ile birlikte $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ birbirine karışır.
Çeldiriciler: paralel ve dik rollerinin tersine çevrilmesi (A) en sık hatadır; $\vec{B}$'nin sabit kaldığı düşüncesi (C) ve karışmanın olmadığı düşüncesi (D) Lorentz kuvvetiyle çelişir. Düşük hızda dönüşüm $\vec{E}'\approx\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}$ olarak vardır (E yanlış).