Elektromanyetik Teori · 12. Ünite: Elektrodinamik ve Görelilik
Tensör Formülasyonu
Özel görelilikte elektrik ve manyetik alan ayrı ayrı Lorentz değişmezi değildir: bir gözlemcinin $\vec{E}$ olarak ölçtüğü şeyin bir kısmı, hareketli gözlemci için $\vec{B}$ olur. Bu bölümde dört-potansiyel $A^\mu=(V/c,\vec{A})$ ile başlayıp alanları tek bir antisimetrik alan tensörü $F^{\mu\nu}$ içinde birleştirir, Maxwell denklemlerini $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0 J^\nu$ ve $\partial_\mu G^{\mu\nu}=0$ biçiminde iki kısa tensör denklemine indirger, Lorentz kuvvetini dört-kuvvet $K^\mu$ olarak yazar ve enerji-momentum tensörü $T^{\mu\nu}$ ile alanın enerji, momentum ve gerilmesini tek nesnede toplarız (Griffiths, Bölüm 12.3.4 ve 12.3.5).
Öğrenme hedefleri
- Dört-potansiyel $A^\mu=(V/c,\vec{A})$ ve dört-akım $J^\mu=(c\rho,\vec{J})$ bileşenlerini yazar; $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ tanımından $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ bileşenlerini tek tek türetir.
- Alan tensörünün $4\times4$ matrisini yazar; antisimetri nedeniyle yalnızca 6 bağımsız bileşeni (3 elektrik, 3 manyetik) olduğunu gösterir ve dual tensör $G^{\mu\nu}$ ile $\vec{E}/c\to\vec{B}$, $\vec{B}\to-\vec{E}/c$ ilişkisini kurar.
- Dört Maxwell denklemini $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ ve $\partial_\mu G^{\mu\nu}=0$ biçiminde yazar; $\nu=0,1,2,3$ bileşenlerini açarak tanıdık $\nabla\cdot\vec{E}$, $\nabla\times\vec{B}$, $\nabla\cdot\vec{B}$ ve $\nabla\times\vec{E}$ denklemlerine döndürür.
- $F'^{\mu\nu}=\Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta F^{\alpha\beta}$ ile hareketli gözlemci için alanları hesaplar ve $E^2-c^2B^2$ ile $\vec{E}\cdot\vec{B}$ değişmezlerini doğrular.
- Lorentz kuvvetini $K^\mu=qF^{\mu\nu}U_\nu$ olarak yazar, bileşenlerinin $q\gamma(\vec{E}+\vec{u}\times\vec{B})$ ve $q\gamma\,\vec{E}\cdot\vec{u}/c$ ile uyumunu gösterir.
- Enerji-momentum tensörü $T^{\mu\nu}$ bileşenlerini enerji yoğunluğu, Poynting vektörü ve Maxwell gerilme tensörüyle ilişkilendirir; $\partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^{\nu\lambda}J_\lambda$ ile iz sıfır özelliğini yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Alanlar Neden Tek Bir Tensörde Birleşir?
Alan Tensörü $F^{\mu\nu}$: Potansiyellerden Alanlara
Dual Tensör $G^{\mu\nu}$ ve Lorentz Değişmezleri
Kovaryant Maxwell Denklemleri
Alanların Dönüşümü ve Kovaryant Lorentz Kuvveti
Elektromanyetik Enerji-Momentum Tensörü $T^{\mu\nu}$
Çözümlü Örnekler
Simülasyon Rehberi, Karşılaştırma ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Dört-potansiyel (Four-potential)
- $A^\mu=(V/c,\vec{A})$; skaler ve vektör potansiyeli birleştiren dört-vektör. $F^{\mu\nu}=\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu$ alanları bundan türetilir ve ayar dönüşümü $A^\mu\to A^\mu+\partial^\mu\lambda$ altında değişmez.
- Alan tensörü (Field tensor) $F^{\mu\nu}$
- $\vec{E}$ ve $\vec{B}$ alanlarını birleştiren antisimetrik $4\times4$ tensör; $F^{0i}=-E_i/c$, $F^{ij}=-\epsilon_{ijk}B_k$. Köşegeni sıfırdır, 6 bağımsız bileşeni vardır.
- Dual tensör (Dual tensor) $G^{\mu\nu}$
- $F^{\mu\nu}$'de $\vec{E}/c\to\vec{B}$ ve $\vec{B}\to-\vec{E}/c$ değişimiyle elde edilen tensör; $\partial_\mu G^{\mu\nu}=0$ homojen Maxwell denklemlerini verir.
- Kovaryant Maxwell denklemleri (Covariant Maxwell equations)
- $\partial_\mu F^{\mu\nu}=\mu_0J^\nu$ (Gauss ve Ampère-Maxwell) ile $\partial_\mu G^{\mu\nu}=0$ ($\nabla\cdot\vec{B}=0$ ve Faraday); her Lorentz gözlemcisinde aynı biçimdedir.
- Dört-kuvvet (Minkowski force) $K^\mu$
- $K^\mu=dp^\mu/d\tau=qF^{\mu\nu}U_\nu$; uzay bileşeni $q\gamma(\vec{E}+\vec{u}\times\vec{B})$, zaman bileşeni $q\gamma\vec{E}\cdot\vec{u}/c$. Dört-hıza diktir ($K_\mu U^\mu=0$).
- Enerji-momentum tensörü (Stress-energy tensor) $T^{\mu\nu}$
- Alanın enerji yoğunluğunu ($T^{00}$), Poynting akısını ($cT^{0i}=S_i$) ve Maxwell gerilme tensörünü ($T^{ij}=-\sigma_{ij}$) taşıyan simetrik, izsiz tensör; $\partial_\mu T^{\mu\nu}=-F^{\nu\lambda}J_\lambda$.
- Lorentz değişmezleri (Lorentz invariants)
- $E^2-c^2B^2=-\tfrac{c^2}{2}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ ve $\vec{E}\cdot\vec{B}$; tüm eylemsiz gözlemcilerde aynı değerli iki skaler.
- Dört-akım (Four-current) $J^\mu$
- $J^\mu=(c\rho,\vec{J})$; yük yoğunluğunu ve akım yoğunluğunu birleştirir. $\partial_\mu J^\mu=0$ yük korunumunu ifade eder.
- Bianchi özdeşliği (Bianchi identity)
- $\partial_\lambda F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\lambda}+\partial_\nu F_{\lambda\mu}=0$; $\nabla\cdot\vec{B}=0$ ve Faraday yasasının tensör yazımı, potansiyel tanımının doğrudan sonucudur.
Örnek soru
Elektromanyetik alanın dört-potansiyeli $A^\mu=(A^0,\vec{A})$ biçiminde yazılır. Skaler potansiyel $V$ ve ışık hızı $c$ olmak üzere zaman bileşeni $A^0$ aşağıdakilerden hangisidir?
- $A^0=V$
- $A^0=cV$
- $A^0=V/c$
- $A^0=|\vec{A}|/c$
- $A^0=\rho c$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $A^0=V/c$
1. Dört-vektörün tüm bileşenleri aynı boyutta olmalıdır. Vektör potansiyelin birimi $[\vec{A}]=\text{T}\cdot\text{m}=\text{V}\cdot\text{s}/\text{m}$'dir.
2. $V$ voltluk bir niceliktir; ışık hızına ($\text{m/s}$) bölününce $[V/c]=\text{V}\cdot\text{s}/\text{m}$ olur ve $\vec{A}$ ile aynı birime gelir.
3. Bu nedenle $A^\mu=(V/c,\vec{A})$ yazılır. $A^0=V$ ya da $cV$ birim uyuşmazlığı verir; $\rho c$ ise dört-akımın zaman bileşenidir ($J^0=c\rho$), potansiyelin değil.