Elektromanyetik Teori · 10. Ünite: Potansiyeller ve Alanlar

Skaler ve Vektör Potansiyelleri (Ayar Dönüşümleri)

Elektrostatikte $\mathbf{E}=-\nabla V$ ve manyetostatikte $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ yazmak hesabı kolaylaştırır. Bu konuda aynı fikri zamana bağlı alanlara genişletecek, skaler potansiyel (scalar potential) $V$ ile vektör potansiyelini (vector potential) $\mathbf{A}$ kullanarak Maxwell denklemlerini iki bağlaşık denkleme indirgeyeceksin. Potansiyellerin tek olmadığını, ayar dönüşümü (gauge transformation) ile alanları değiştirmeden $(V,\mathbf{A})$ çiftini serbestçe değiştirebildiğini görecek, Coulomb ve Lorenz ayarlarını karşılaştıracak ve Lorenz ayarında $V$ ile $\mathbf{A}$'nın aynı dalga denklemini sağladığını göstereceksin. Konu, elektrodinamiğin kovaryant (covariant) dörtlü potansiyel diline bir önizlemeyle biter.

Öğrenme hedefleri

Konu anlatımı

  1. 1. Neden Potansiyeller? Alanlardan Bir Adım Geri

  2. 2. Potansiyel Tanımlarının Türetilmesi

  3. 3. Maxwell Denklemlerinin Potansiyel Biçimi

  4. 4. Ayar Serbestliği ve Ayar Dönüşümü

  5. 5. Coulomb Ayarı (Radyasyon Ayarı)

  6. 6. Lorenz Ayarı ve Dalga Denklemleri

  7. 7. Ayarların Karşılaştırması

  8. 8. Çözümlü Örnekler

  9. 9. Kovaryant Formülasyona Önizleme

  10. 10. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Skaler potansiyel (scalar potential) $V$
Elektrik alanın gradiyent kısmını üreten skaler fonksiyon; $\mathbf{E}=-\nabla V-\partial_t\mathbf{A}$ ilişkisinde yer alır.
Vektör potansiyeli (vector potential) $\mathbf{A}$
$\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ ile tanımlanan, aynı zamanda $\mathbf{E}$'nin zamana bağlı kısmını $-\partial_t\mathbf{A}$ olarak veren vektör alanı.
Ayar dönüşümü (gauge transformation)
$\mathbf{A}'=\mathbf{A}+\nabla\lambda$, $V'=V-\partial_t\lambda$ dönüşümü; $\mathbf{E}$ ve $\mathbf{B}$'yi değiştirmeden potansiyelleri değiştirir.
Ayar fonksiyonu $\lambda$ (gauge function)
Dönüşümü belirleyen, uzay ve zamanın keyfi skaler fonksiyonu; seçimi fiziksel sonuçları değiştirmez.
Ayar değişmezliği (gauge invariance)
Maxwell denklemlerinin, alanların ve kuvvetlerin ayar dönüşümü altında aynı kalması; $F^{\mu\nu}$ bu simetrinin kovaryant ifadesidir.
Coulomb ayarı (Coulomb gauge)
$\nabla\cdot\mathbf{A}=0$ koşulu; $V$ ani Poisson denklemini sağlar ve $\mathbf{A}$ yalnızca enine akımla beslenir.
Lorenz ayarı (Lorenz gauge)
$\nabla\cdot\mathbf{A}=-\mu_0\epsilon_0\,\partial_tV$ koşulu; $V$ ve $\mathbf{A}$ aynı d'Alembert dalga denklemini sağlar.
d'Alembert operatörü (d'Alembertian)
$\square^2=\nabla^2-\frac{1}{c^2}\partial_t^2$; Lorenz ayarında $\square^2V=-\rho/\epsilon_0$ ve $\square^2\mathbf{A}=-\mu_0\mathbf{J}$ dalga denklemlerini kurar.
Gecikmeli potansiyel (retarded potential)
Kaynağı $t_r=t-R/c$ gecikmiş zamanında değerlendiren nedensel çözüm; potansiyel ışık hızıyla yayılır.
Dörtlü potansiyel (four-potential)
$A^\mu=(V/c,\mathbf{A})$; ayar dönüşümü $A^\mu\to A^\mu-\partial^\mu\lambda$, Lorenz koşulu $\partial_\mu A^\mu=0$ biçimini alır.

Örnek soru

Zamana bağlı elektromanyetik alanlarda skaler potansiyel $V$ ve vektör potansiyeli $\mathbf{A}$ cinsinden elektrik alan hangi ifadeyle verilir?

  1. $\mathbf{E}=-\nabla V$
  2. $\mathbf{E}=\nabla\times\mathbf{A}$
  3. $\mathbf{E}=-\nabla V-\partial\mathbf{A}/\partial t$
  4. $\mathbf{E}=-\nabla V+\partial\mathbf{A}/\partial t$
  5. $\mathbf{E}=-\partial V/\partial t-\nabla\times\mathbf{A}$

Doğru cevap: C

Çözüm

Cevap: $\mathbf{E}=-\nabla V-\partial\mathbf{A}/\partial t$
1. $\nabla\cdot\mathbf{B}=0$ olduğundan $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$ yazılır.
2. Faraday yasası $\nabla\times\mathbf{E}=-\partial_t\mathbf{B}$ içine yerleştirilirse $\nabla\times(\mathbf{E}+\partial_t\mathbf{A})=\mathbf{0}$ bulunur.
3. Rotasyoneli sıfır olan alan bir gradiyenttir: $\mathbf{E}+\partial_t\mathbf{A}=-\nabla V$.
$\mathbf{E}=-\nabla V$ seçeneği yalnızca statik durumda geçerlidir; indüksiyon kısmını ($-\partial_t\mathbf{A}$) unutur.

Elektromanyetik Teori: tüm konular