Elektromanyetik Teori · 9. Ünite: Elektromanyetik Dalgalar

Kılavuzlu Dalgalar

Elektromanyetik dalgalar boş uzayda serbestçe yayılır; fakat mikrodalga fırın, radar, uydu haberleşmesi ve hızlı bilgisayar bağlantıları gibi uygulamalarda dalganın iletken sınırlar içinde belirli bir doğrultuda taşınması gerekir. Bu konuda içi boş bir metal borudaki (dalga kılavuzu, waveguide) dalgayı sınır koşullarıyla çözer, TE ve TM kiplerini (modes) ve kesim frekansını (cutoff frequency) türetir, kılavuz içinde faz hızının $c$'den büyük, grup hızının $c$'den küçük olduğunu görür ve iki iletkenli koaksiyel hattın neden kesim frekansı olmayan bir TEM kipi taşıdığını inceleriz. Sonunda bir kılavuzun hangi frekanslarda hangi kipleri ilettiğini ve bir koaksiyel hattın karakteristik empedansını hesaplayabilirsin.

Öğrenme hedefleri

Konu anlatımı

  1. Dalgayı Boru İçinde Taşımak: Bağlam ve Sınır Koşulları

  2. Boyuna Bileşenlerden Enine Alanlara: TE, TM ve TEM Kipleri

  3. Dikdörtgen Dalga Kılavuzu: TE ve TM Kipleri

  4. Dağılım Bağıntısı ve Kesim Frekansı

  5. Kılavuzda Faz Hızı, Grup Hızı ve Kılavuz Dalga Boyu

  6. Koaksiyel İletim Hattı: TEM Kipi

  7. Çözümlü Örnekler

  8. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları

Anahtar terimler

Dalga kılavuzu (Waveguide)
Elektromanyetik dalgayı iletken sınırlar içinde yönlendiren, çoğunlukla içi boş metal boru ya da dielektrik yapı.
TE kipi (Transverse Electric)
Elektrik alanın yayılma doğrultusunda bileşeni olmayan ($E_z=0$) kip; $B_z \neq 0$. Dikdörtgen kılavuzda $m,n\ge 0$ ve $(m,n)\neq(0,0)$.
TM kipi (Transverse Magnetic)
Manyetik alanın yayılma doğrultusunda bileşeni olmayan ($B_z=0$) kip; $E_z \neq 0$. Dikdörtgen kılavuzda $m,n\ge 1$.
TEM kipi (Transverse Electromagnetic)
$E_z = B_z = 0$ olan, $k=\omega/v$ ile kesim frekansı olmayan kip; yalnızca iki ya da daha çok iletkenli yapılarda (koaksiyel hat) bulunur.
Kesim frekansı (Cutoff frequency)
Bir kipin yayılabildiği en düşük frekans: $\omega_{mn} = c\pi\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}$. Bunun altında $k$ sanal olur ve dalga sönümlenir.
Baskın kip (Dominant mode)
En düşük kesim frekanslı kip; $a>b$ olan dikdörtgen kılavuzda TE$_{10}$ ve $f_{10}=c/2a$.
Dağılım bağıntısı (Dispersion relation)
$\omega$ ile $k$ arasındaki ilişki; kılavuzda $\omega^2 = c^2k^2 + \omega_{mn}^2$.
Faz hızı (Phase velocity)
Sabit faz yüzeyinin hızı $v_p=\omega/k = c/\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2} > c$; bilgi taşımaz.
Grup hızı (Group velocity)
Dalga paketinin ve enerjinin hızı $v_g=d\omega/dk = c\sqrt{1-(\omega_{mn}/\omega)^2} < c$; $v_p v_g = c^2$.
Kılavuz dalga boyu (Guide wavelength)
$\lambda_g=2\pi/k$; kılavuzda ardışık eş-faz noktaları arasındaki uzaklık ve her zaman $\lambda_0$'dan büyüktür.
Evanescent dalga (Sönümlü dalga)
Kesim altı frekansta $e^{-\alpha z}$ ile üstel azalan, enerji taşımayan alan; $\alpha = \sqrt{\omega_{mn}^2-\omega^2}/c$.
Karakteristik empedans (Characteristic impedance)
İleri giden dalgada gerilimin akıma oranı; koaksiyel hat için $Z_0 = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\mu/\epsilon}\ln(b/a)$.

Örnek soru

Kenarları $a > b$ olan hava dolgulu dikdörtgen kesitli bir dalga kılavuzunda en düşük kesim frekansına sahip (baskın) kip aşağıdakilerden hangisidir?

  1. $\text{TM}_{11}$
  2. $\text{TE}_{11}$
  3. $\text{TE}_{10}$
  4. $\text{TM}_{10}$
  5. $\text{TE}_{01}$

Doğru cevap: C

Çözüm

Cevap: $\text{TE}_{10}$
1. Kesim frekansı $f_{mn} = \dfrac{c}{2}\sqrt{(m/a)^2+(n/b)^2}$ ile verilir.
2. TE kipleri için $(m,n)\neq(0,0)$ yeterlidir; en küçük $f$ tek bir indisin $1$ olduğu ve büyük kenara ($a$) karşılık geldiği durumda elde edilir: $f_{10} = c/2a$.
3. $a>b$ olduğundan $f_{01} = c/2b > f_{10}$ ve $f_{11} = \dfrac{c}{2}\sqrt{1/a^2+1/b^2} > f_{10}$ olur.
4. $\text{TM}_{10}$ diye bir kip yoktur: TM kiplerinde $E_z = E_0\sin(m\pi x/a)\sin(n\pi y/b)$ olduğundan $m,n\ge1$ gerekir ve en düşük TM kipi $\text{TM}_{11}$'dir.
Sonuç: $\text{TE}_{10}$. Yanlış seçenek $\text{TE}_{01}$, $a$ ve $b$'nin rollerini karıştırmaktan doğar; $\text{TM}_{10}$ ise mevcut olmayan bir kiptir.

Elektromanyetik Teori: tüm konular