Fizik I · 7. Ünite: İş ve Enerji
Değişken Kuvvetin Yaptığı İş
Gerçek sistemlerde kuvvet çoğu zaman sabit değildir: yay uzadıkça kuvvet büyür, uydu Dünya'dan uzaklaştıkça çekim zayıflar, lastik bir bant gerildikçe sertleşir. Bu konuda işin tanımını konuma bağlı kuvvetler için $W = \int F(x)\,dx$ tümlevine genişletecek, tümlevin kuvvet–konum grafiğinin altındaki alan olduğunu görecek ve Hooke yayı için $W = \tfrac{1}{2}k x^2$ ifadesini türeteceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Konuma bağlı bir kuvvetin yaptığı işi $W = \int_{x_i}^{x_f} F(x)\,dx$ tümleviyle hesaplar ve bunu kuvvet–konum grafiğinin altındaki alanla ilişkilendirir.
- Riemann toplamından hareketle sabit kuvvet işinin değişken kuvvet işinin özel bir durumu olduğunu gösterir.
- Hooke yasası $F = -kx$ için yayın ve dış kuvvetin işini türetir; $W = \tfrac{1}{2}k(x_f^2 - x_i^2)$ ifadesini başlangıç noktası $x_i \ne 0$ olduğunda da doğru uygular.
- Parçalı (kesikli) kuvvet–konum grafiklerinde alanı geometrik şekillerle toplayarak işi bulur; polinom ve $1/x^2$ tipi kuvvetlerde analitik tümlev alır.
- Ortalama kuvvet kavramını ($F_{ort} = W/\Delta x$) kullanır ve doğrusal olmayan yaylarda $\tfrac{1}{2}kx^2$ formülünün neden geçerli olmadığını açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Kuvvet konuma bağlı olduğunda
Tanım: tümlev ve grafik altındaki alan
Çözümlü örnekler
Grafik ve tablo yorumu
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Özet ve bağlantılar
Anahtar terimler
- Değişken kuvvet (variable force)
- Büyüklüğü ya da yönü konuma (ya da zamana) bağlı kuvvet; işi tümlevle hesaplanır.
- Belirli tümlev (definite integral)
- Riemann toplamının limiti; $\int_{x_i}^{x_f}F\,dx$ iş büyüklüğünü verir.
- Hooke yasası (Hooke's law)
- İdeal yayın geri çağırıcı kuvveti $F_s = -kx$; uzamayla doğru orantılıdır.
- Yay sabiti (spring constant)
- $k$, yayın sertliğini belirten katsayı; birimi N/m.
- Ortalama kuvvet (average force)
- $F_{ort} = W/\Delta x$; doğrusal değişimde ilk ve son değerin aritmetik ortalamasıdır.
- Sertleşen / yumuşayan yay
- Uzama arttıkça sertlik artan ($\beta > 0$) ya da azalan ($\beta < 0$) doğrusal olmayan yay.
- Yamuk kuralı (trapezoidal rule)
- Deneysel verilerden alanı sayısal tümlevlemek için $\sum\tfrac{1}{2}(F_j + F_{j+1})\Delta x_j$ yöntemi.
Örnek soru
Yay sabiti $k = 300\,\text{N/m}$ olan ideal bir yay, rahat konumundan $0{,}20\,\text{m}$ gerilirken dış kuvvetin yaptığı iş kaç joule'dür?
- $12$
- $30$
- $60$
- $3$
- $6$
Doğru cevap: E
Çözüm
1. Yavaş germede $F_{dış} = kx$; $W = \int_0^{x}kx'\,dx' = \tfrac{1}{2}kx^2$.
2. $W = \tfrac{1}{2}(300)(0{,}20)^2 = 150 \times 0{,}04 = \mathbf{6\,J}$.
Çeldiriciler: $12\,\text{J}$ yarım çarpanını unutmaktır ($kx^2$); $60\,\text{J}$ son kuvvet ($kx = 60\,\text{N}$) ile çarpımın sayısal değerini işe karıştırmaktır; $30\,\text{J}$ $\tfrac{1}{2}kx$ ifadesinde kareyi unutmaktır; $3\,\text{J}$ uzamayı $0{,}1\,\text{m}$ almaktır.