Fizik I · 7. Ünite: İş ve Enerji
İki Vektörün Skaler Çarpımı
İki vektörün skaler çarpımı (nokta çarpım, dot product), vektörlerin "ne kadar aynı yönde olduğunu" tek bir sayıyla ölçer ve fizikte işin, gücün ve akının matematiksel temelidir. Bu konuda nokta çarpımı geometrik ($AB\cos\theta$) ve cebirsel ($A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$) olarak tanımlayacak, ikisinin denkliğini göstereceksiniz. Sonunda iki vektör arasındaki açıyı, bir vektörün diğeri üzerindeki bileşenini ve $W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}$ ile işi hesaplayabileceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- İki vektörün skaler çarpımını hem $\vec{A}\cdot\vec{B} = AB\cos\theta$ hem de bileşenlerle ($A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$) hesaplar.
- Birim vektör bağıntılarından ($\hat{i}\cdot\hat{i} = 1$, $\hat{i}\cdot\hat{j} = 0$ vb.) bileşen formülünü dağılma özelliğiyle türetir.
- İki vektör arasındaki açıyı $\cos\theta = \dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{AB}$ ile bulur; diklik ve paralellik koşullarını nokta çarpımla sınar.
- Bir vektörün başka bir vektör doğrultusundaki skaler izdüşümünü ($A_B = \vec{A}\cdot\hat{B}$) hesaplar.
- Sabit bir kuvvetin üç boyutlu yer değiştirmedeki işini $W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}$ ile bulur ve sonucu geometrik olarak yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden bir "çarpım" daha?
Tanım, özellikler ve bileşen formülü
Çözümlü örnekler
Grafik ve tablo yorumu
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Özet ve bağlantılar
Anahtar terimler
- Skaler çarpım (dot product)
- İki vektörden skaler üreten çarpım: $\vec{A}\cdot\vec{B} = AB\cos\theta = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$.
- Skaler izdüşüm (scalar projection)
- $\vec{A}$'nın $\vec{B}$ doğrultusundaki işaretli bileşeni $A_B = \vec{A}\cdot\vec{B}/B$.
- Dik vektörler (orthogonal)
- Skaler çarpımı sıfır olan ve ikisi de sıfır vektör olmayan vektörler.
- Birim vektör (unit vector)
- Büyüklüğü bir olan, yalnızca yön bildiren vektör $\hat{A} = \vec{A}/A$.
- Kosinüs teoremi
- $C^2 = A^2 + B^2 - 2AB\cos\theta$; nokta çarpımın geometrik ve cebirsel tanımlarını birleştirir.
- Cauchy–Schwarz eşitsizliği
- $|\vec{A}\cdot\vec{B}| \le AB$; eşitlik paralel ya da antiparalel vektörlerde sağlanır.
- Dağılma özelliği
- $\vec{A}\cdot(\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A}\cdot\vec{B} + \vec{A}\cdot\vec{C}$; bileşen formülünün türetilmesinin temelidir.
Örnek soru
$\vec{A} = (1, 2, 3)$ ve $\vec{B} = (4, -5, 6)$ vektörlerinin skaler çarpımı kaçtır?
- $-12$
- $12$
- $32$
- $18$
- $0$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Bileşen formülü: $\vec{A}\cdot\vec{B} = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z$.
2. $(1)(4) + (2)(-5) + (3)(6) = 4 - 10 + 18 = \mathbf{12}$.
Çeldiriciler: $32$ işaretleri yok sayarak ($4 + 10 + 18$) toplamaktır; $18$ yalnızca $z$ bileşeni çarpımını almaktır; $-12$ toplam işaretini ters çevirmektir; $0$ vektörlerin dik olduğunu varsaymaktır, oysa sonuç sıfır değildir.