Fizik I · 2. Ünite: Tek Boyutta Kinematik
Serbest Düşme ve İntegral Hesabı
Dünya yüzeyine yakın yerlerde, hava direnci ihmal edildiğinde bütün cisimler kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivmeyle düşer: bu, bildiğimiz en yalın sabit ivmeli harekettir. Bu konuda serbest düşmeyi ve düşey atışı $a = -g$ ile çözecek, ardından ivmenin zamanla değiştiği durumlarda hız ve konumu integral yoluyla bulmayı öğreneceksiniz. Sonunda hava direncinin neden sınır (limit) hıza götürdüğünü de nicel olarak yorumlayabileceksiniz.
Öğrenme hedefleri
- Serbest düşme ve düşey atış problemlerini $a = -g$ ($g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$) ile kurar; yön seçimine göre işaretleri tutarlı kullanır.
- Tepe noktası, uçuş süresi ve çarpma hızı niceliklerini bulur; yükseliş ile iniş sürelerinin simetrisini gerekçelendirir.
- Yükseklikten atılan cisimlerde ikinci derece denklemi çözerek yere çarpma zamanını ve hızını hesaplar.
- $a(t)$ verildiğinde başlangıç koşullarını kullanarak $v(t)$ ve $x(t)$'yi integralle elde eder.
- Hava direncinde $a = -c|v|v$ modelinden limit hızı $\sqrt{g/c}$ olarak bulur ve serbest düşmeden sapmayı yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Galileo'dan Ay'daki Tüye
Serbest Düşme Denklemleri
Yükseklikten Atış ve Çarpma
İntegral Yöntemi: Değişken İvme
Grafik ve Tablo Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Bağlantılar ve Özet
Anahtar terimler
- Serbest düşme (Free fall)
- Yalnızca yerçekiminin etkisindeki hareket; yukarı atılan cisim de serbest düşmededir.
- Yerçekimi ivmesi ($g$)
- Yer yüzeyine yakın yerlerde yaklaşık $9{,}8\,\text{m/s}^2$; yönü aşağı, kütleden bağımsız.
- Düşey atış (Vertical projectile motion)
- Cismin düşey doğrultuda ilk hızla fırlatılması; ivme tüm hareket boyunca $-g$.
- Tepe noktası (Apex)
- Yukarı atılan cismin anlık durduğu en yüksek nokta; $v = 0$, $a = -g$.
- İntegral yöntemi (Integration method)
- $a(t)$'den $v(t)$'yi, $v(t)$'den $x(t)$'yi başlangıç koşullarıyla bulma işlemi.
- Başlangıç koşulu (Initial condition)
- İntegral sabitini belirleyen $v(0)$ ve $x(0)$ değerleri.
- Hava direnci (Drag)
- Cisme hareketine zıt etki eden, hızla artan direnç; modelde $a = -c|v|v$.
- Limit hız (Terminal velocity)
- Direnç ivmesi yerçekimini dengelediğinde ulaşılan sabit hız, $\sqrt{g/c}$.
Örnek soru
Havanın direnci ihmal edilerek bir taş durgun hâlden bırakılıyor ($g = 9{,}8\,\text{m/s}^2$). Taş $3\,\text{s}$'de kaç metre düşer?
- 14,7
- 29,4
- 39,2
- 44,1
- 88,2
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Serbest düşmede $\Delta y = \tfrac{1}{2}g t^2$.
2. $\Delta y = \tfrac{1}{2}(9{,}8)(3)^2 = 4{,}9 \times 9 = 44{,}1\,\text{m}$.
Cevap: 44,1 m. $29{,}4$ değeri $gt$ (hız) ile karıştırılmıştır; $88{,}2$ ise $gt^2$ hesabında $\tfrac{1}{2}$ çarpanının unutulmasıdır.