İstatistik ve Olasılık · 6. Ünite: Örnekleme Dağılımları ve Tanımlayıcı İstatistik
t-Dağılımı ve F-Dağılımı
Gerçek uygulamalarda popülasyonun standart sapması $\sigma$ neredeyse hiç bilinmez; onu örneklemden hesapladığımız $S$ ile değiştiririz. Bu küçük değişiklik $\bar{X}$'in standartlaştırılmış hâlinin dağılımını normal olmaktan çıkarır ve ona kalın kuyruklu bir dağılım, $t$ dağılımı kazandırır. Bu konuda önce ki-kare ($\chi^2$) dağılımını ve $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ teoremini ispatlıyor, ardından $t$ ve $F$ dağılımlarını $\chi^2$ ve normalden kuruyor; tablo okumayı ve her üç dağılımla olasılık/kritik değer hesaplamayı öğreniyorsun. Konunun sonunda $\sigma$ bilinmediğinde ortalama hakkında, iki varyansın oranı hakkında olasılık ifadeleri kurabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- $\chi^2(v)$ dağılımını bağımsız standart normallerin kareleri toplamı olarak tanımlar; ortalama $v$, varyans $2v$ sonuçlarını bilir ve $\chi^2_\alpha(v)$ kritik değerlerini tablodan okur.
- Normal örneklemde $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ teoremini MGF ile türetir ve $\mathrm{Var}(S^2) = 2\sigma^4/(n-1)$ ile $P(S^2 > c)$ türü olasılıkları hesaplar.
- $T = Z/\sqrt{V/v}$ tanımından $T = (\bar{X} - \mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t(n-1)$ sonucunu çıkarır; $t$'nin simetri, kalın kuyruk ve $v \to \infty$ iken normale yakınsama özelliklerini açıklar.
- $F = (U/v_1)/(V/v_2)$ tanımından $F = \dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)$ sonucunu kurar ve $f_{1-\alpha}(v_1,v_2) = 1/f_\alpha(v_2,v_1)$ ile $T^2 \sim F(1,v)$ ilişkilerini gösterir.
- $t$, $\chi^2$ ve $F$ tablolarından sağ ve sol kuyruk kritik değerlerini okur; simülasyon çıktılarıyla ($n$ küçükken $P(T > z_\alpha) > \alpha$) kuramsal değerleri karşılaştırır.
Konu anlatımı
Motivasyon: Standart Sapma Bilinmediğinde
Ki-Kare Dağılımı ve Örneklem Varyansı
t Dağılımı
F Dağılımı
Çözümlü Örnekler
Grafik ve Tablo Yorumu
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Ki-kare dağılımı (chi-square distribution)
- $v$ bağımsız standart normalin kareleri toplamının dağılımı: $\chi^2(v)$; $E = v$, $\mathrm{Var} = 2v$, sağa çarpık.
- Serbestlik derecesi (degrees of freedom)
- Bağımsız bilgi sayısı; $S^2$ için $n-1$ (bir derece $\bar{X}$ tahmin edildiği için kaybedilir).
- Student t dağılımı
- $T = Z/\sqrt{V/v}$; simetrik, kalın kuyruklu, $v \to \infty$ iken $N(0,1)$; $(\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t(n-1)$.
- F dağılımı (F distribution)
- İki bağımsız $\chi^2$'nin serbestlik derecesine bölünmüş oranı: $F(v_1, v_2)$; iki normal varyansın oranı için kullanılır.
- Kritik değer (critical value)
- $P(X > x_\alpha) = \alpha$ olan nokta: $t_\alpha(v)$, $\chi^2_\alpha(v)$, $f_\alpha(v_1, v_2)$.
- Ters çevirme özelliği (reciprocal property)
- $f_{1-\alpha}(v_1, v_2) = 1/f_\alpha(v_2, v_1)$; $F$ tablolarının yalnızca sağ kuyruğu içermesinin nedeni.
- Student'ın kaynağı
- William Gosset, 1908; Guinness'te çalışırken "Student" takma adıyla küçük örnekler için $t$ dağılımını yayımladı.
- Örneklem varyansının dağılımı
- Normal popülasyonda $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ ve $\mathrm{Var}(S^2) = 2\sigma^4/(n-1)$.
Örnek soru
Normal dağılımlı bir popülasyondan $n = 16$ birimlik rastgele örneklem alınıyor ve $\sigma$ bilinmiyor. $T = \dfrac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}$ istatistiği hangi dağılıma uyar?
- $N(0, 1)$
- $t(15)$
- $t(16)$
- $\chi^2(15)$
- $F(15, 16)$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. $T = \dfrac{(\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S^2/\sigma^2}{n-1}}} = \dfrac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}$ ile $Z \sim N(0,1)$ ve $V \sim \chi^2(n-1)$ bağımsızdır.
2. Tanım gereği $T \sim t(n-1) = t(\mathbf{15})$.
Cevap: B. A seçeneği $\sigma$ biliniyormuş gibi davranır; C seçeneği serbestlik derecesini $n$ alır ($\bar{X}$ tahmin edildiği için bir derece kaybedilir). $\chi^2$ ve $F$ ortalama için değil, varyans ve varyans oranı için kullanılır.