Matematik I · 5. Ünite: İntegralin Uygulamaları
Disk Yöntemi ile Hacim Hesaplama
Bir bölgeyi bir eksen etrafında döndürdüğünüzde ortaya çıkan cisim, ince dairesel dilimlerin yığınıdır; her dilimin hacmi "alan çarpı kalınlık"tır. Bu fikir, küre ve koninin hacim formüllerini, kap profilinden su hacmini ve tornalanmış parçanın malzeme miktarını tek bir integralle hesaplamayı sağlar. Konunun sonunda kesit alanından hacim integralini kurabilir, disk ve rondela (washer) yöntemlerini doğru yarıçaplarla uygulayabilir ve dönme ekseni $x$-ekseni, $y$-ekseni ya da başka bir doğru olduğunda yarıçapı doğru yazabilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Bilinen kesit alanı $A(x)$ olan bir cismin hacmini $V=\int_a^b A(x)\,dx$ olarak Riemann toplamından türetir.
- $y=f(x)$ eğrisinin altındaki bölgenin $x$-ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmini $V=\pi\int_a^b [f(x)]^2\,dx$ ile hesaplar.
- İki eğri arasındaki bölgenin döndürülmesinde rondela yöntemini $V=\pi\int_a^b \bigl[R(x)^2-r(x)^2\bigr]\,dx$ biçiminde kurar ve $\pi(R-r)^2$ hatasını açıklar.
- Dönme ekseni $y=k$ ya da $y$-ekseni olduğunda dış ve iç yarıçapı eksene olan uzaklık olarak yazar; $dy$ ile integral kurar.
- Küre, koni ve kesik koninin hacim formüllerini disk yöntemiyle türetir; kesiti dairesel olmayan (kare, üçgen) cisimlerin hacmini hesaplar.
Konu anlatımı
Bağlam: dilimleyerek hacim bulmak
Kesit alanı ile hacim: teorem ve türetme
Çözümlü örnekler
Sınır durumları ve genel yarıçap ilkesi
Simülasyonla keşif
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Dönel cisim (solid of revolution)
- Düzlemdeki bir bölgenin düzlemdeki bir doğru (eksen) etrafında $360^\circ$ döndürülmesiyle oluşan üç boyutlu cisim.
- Kesit alanı (cross-sectional area)
- Cismin eksene dik bir düzlemle kesilmesiyle oluşan kesitin alanı $A(x)$; hacim $\int A(x)\,dx$'tir.
- Disk yöntemi (disk method)
- Kesitin dolu daire olduğu durumda $V=\pi\int [R(x)]^2\,dx$; dilim bir diskin hacmi $\pi R^2\,\Delta x$'tir.
- Rondela yöntemi (washer method)
- Kesitin halka olduğu durumda $V=\pi\int [R^2-r^2]\,dx$; $R$ dış, $r$ iç yarıçaptır.
- Dış ve iç yarıçap
- Dönme eksenine en uzak ve en yakın sınırın eksene olan uzaklığı; $R\ge r\ge0$.
- Dönme ekseni (axis of revolution)
- Bölgenin etrafında döndüğü doğru; yarıçap bu doğruya olan dik uzaklıktır.
- Dilim kalınlığı
- $dx$ ya da $dy$; dilimler dönme eksenine dik olduğunda eksen boyunca ölçülen kalınlıktır.
Örnek soru
$y=\sqrt{x}$ eğrisi, $x$-ekseni ve $x=4$ doğrusu arasındaki bölge $x$-ekseni etrafında döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaçtır?
- $\dfrac{16\pi}{3}$
- $16\pi$
- $8\pi$
- $\dfrac{32\pi}{3}$
- $4\pi$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Kesit bir disktir; $R=\sqrt{x}$, $x\in[0,4]$.
2. $V=\pi\int_0^4(\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4x\,dx=\pi\cdot\tfrac{16}{2}=8\pi$.
Doğru cevap: $8\pi$. $\tfrac{16}{3}$ alan integralinin ($\int_0^4\sqrt{x}\,dx$) sonucudur ve $\pi$ ile çarpılırsa $\tfrac{16\pi}{3}$ elde edilir; yani karekök kare alınmadan integre edilmiştir.