Matematik I · 5. Ünite: İntegralin Uygulamaları
Eğri Uzunluğu (Yay Uzunluğu)
Düz bir doğru parçasının uzunluğunu bir cetvelle ölçeriz; eğri bir yolun uzunluğu ise ancak onu çok küçük doğru parçalarına bölerek tanımlanabilir. Yay uzunluğu integrali, yolun her noktasındaki yatay ve düşey değişimi Pisagor teoremiyle birleştirip toplar. Bu konunun sonunda $L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ formülünü poligon yaklaşımından türetebilir, hem $y=f(x)$ hem $x=g(y)$ biçiminde uygulayabilir ve integrali kapalı biçimde çözülebilir hâle getiren durumları (tam kare yapısı) tanıyabilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Bir eğriyi $n$ doğru parçalı poligonla yaklaşıklayıp toplam uzunluğun $\sum\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ olduğunu yazar ve Ortalama Değer Teoremi ile $L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$ formülünü türetir.
- $f'$ sürekli olan eğriler için yay uzunluğu integralini kurar; $x=g(y)$ biçiminde verilen ya da dikey teğetli eğrilerde $L=\int_c^d\sqrt{1+[g'(y)]^2}\,dy$ formülüne geçer.
- $1+[f']^2$ ifadesinin tam kare olduğu durumları tanıyarak integrali kapalı biçimde hesaplar ($y=\tfrac23x^{3/2}$, $y=\tfrac{x^4}{4}+\tfrac{1}{8x^2}$, zincir eğrisi).
- Poligon uzunluğunun gerçek uzunluğa aşağıdan yakınsadığını ve hatasının $n^{-2}$ ile azaldığını sayısal olarak doğrular.
- Doğru parçası, kirişten daha kısa yol olmadığı gibi sınır durumlarını ($L\ge$ uç noktalar arası uzaklık) kullanarak sonucun makul olup olmadığını denetler.
Konu anlatımı
Bağlam: eğri bir yolu nasıl ölçeriz?
Tanım ve teorem: yay uzunluğu formülünün türetilmesi
Çözümlü örnekler
Sınır durumları ve dikkat edilecek yerler
Simülasyonla keşif
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Yay uzunluğu (arc length)
- Bir eğri parçasının uzunluğu; $f'$ sürekli iken $L=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx$.
- Poligon yaklaşımı (polygonal approximation)
- Eğriyi uç uca eklenmiş doğru parçalarıyla yaklaşıklama; uzunluk $\sum\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$ ve $n\to\infty$ için yay uzunluğuna aşağıdan yakınsar.
- Yay uzunluğu elemanı (arc length element)
- $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(y')^2}\,dx$; eğri boyunca sonsuz küçük parçanın uzunluğu.
- Kiriş (chord)
- Eğrinin iki noktasını birleştiren doğru parçası; yay uzunluğu için alt sınırdır.
- Sürekli türevlenebilir (continuously differentiable)
- $f'$ var ve süreklidir; yay uzunluğu formülünün geçerlilik koşuludur.
- Zincir eğrisi (catenary)
- $y=a\cosh(x/a)$; asılı kablonun biçimi; $1+y'^2=\cosh^2(x/a)$ olduğundan yay uzunluğu $a\sinh(x/a)$ farkıdır.
- Tam kare yapısı
- $1+[f'(x)]^2$ ifadesinin bir ifadenin karesi olması; kökü kaldırır ve integrali kapalı biçimde çözer.
Örnek soru
$y=\tfrac23x^{3/2}$, $0\le x\le3$ eğrisinin uzunluğu kaçtır?
- $\dfrac{16}{3}$
- $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
- $\dfrac{28}{9}$
- $\dfrac{14}{3}$
- $6$
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $y'=x^{1/2}$, $1+y'^2=1+x$.
2. $L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big|_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
3. Kontrol: kiriş $\sqrt{9+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{21}\approx4{,}58\le L\approx4{,}67$ ✓.
Doğru cevap: $\tfrac{14}{3}$. $\tfrac{16}{3}=\tfrac23\cdot8$ değeri, alt sınırdaki katkı $\tfrac23\cdot1$'in çıkarılmamasının sonucudur.