Matematik I · 6. Ünite: İntegral Alma Teknikleri
Kısmi İntegrasyon
Kısmi integrasyon (integration by parts), türevdeki çarpım kuralının integral tarafındaki karşılığıdır. $x\,e^x$, $x\cos x$, $\ln x$ ya da $e^x\sin x$ gibi iki farklı türden fonksiyonun çarpımı olan ve u-dönüşümüyle çözülemeyen integralleri, daha kolay bir integrale indirger. Bu konuda formülü çarpım kuralından türetmeyi, $u$ ile $dv$'yi bilinçli seçmeyi, tablo yöntemi ve döngüsel durumları kullanmayı, belirli ve has olmayan integrallerde sınır terimlerini doğru yönetmeyi öğreneceksin.
Öğrenme hedefleri
- Çarpım kuralından $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ formülünü türetir ve belirli integraldeki $[uv]_a^b$ biçimini yazar.
- $x^n e^{x}$, $x^n\ln x$, $x\sin x$ ve $\arctan x$ gibi integrallerde $u$ ile $dv$'yi LAPTÜ sırasına ve kalan integralin sadeliğine göre seçer.
- $x^2 e^x$ ve $x^3\sin x$ gibi polinomlu integrallerde kısmi integrasyonu art arda ya da tablo yöntemiyle uygular.
- $\int e^{ax}\sin bx\,dx$ türü döngüsel integrallerde denklemi kurup asıl integrali cebirsel olarak çözer.
- $\int_0^1 \ln x\,dx$ gibi has olmayan integrallerde sınır terimini limitle hesaplar ve sonucu sayısal olarak doğrular.
- İndirgeme formülü ($I_n = x^n e^x - nI_{n-1}$) kurar ve LAPTÜ'nün işlemediği durumlarda (ör. $x^3e^{x^2}$) seçimi gerekçelendirir.
Konu anlatımı
1. Neden Yeni Bir Teknik? Çarpımın İntegrali Çarpım Değildir
2. Formülün Türetilmesi ve Belirli İntegral Hâli
3. u ve dv Seçimi: LAPTÜ Sırası ve Gerçek Ölçüt
4. Çözümlü Örnekler
5. Tablo Yöntemi, Döngüsel İntegraller ve İndirgeme Formülleri
6. Belirli İntegral, Sınır Terimi ve Dikkat Edilecek Durumlar
7. Simülasyonla Keşif ve Karar Tablosu
8. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
9. Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Kısmi integrasyon (integration by parts)
- $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ formülü; çarpım kuralının integral karşılığıdır.
- LAPTÜ (LIATE) sırası
- $u$ seçiminde öncelik: logaritmik, ters trigonometrik, polinom, trigonometrik, üstel; bir sezgidir, kural değildir.
- Çarpım kuralı (product rule)
- $(fg)' = f'g + fg'$; kısmi integrasyon formülünün kaynağı.
- Tablo yöntemi (tabular integration)
- Polinom çarpanlı integrallerde türev ve ters türev sütunlarını işaret dönüşümlü çapraz çarparak tekrarlı uygulamayı kısaltan yöntem.
- Döngüsel integral (cyclic integral)
- Kısmi integrasyon sonrası aynı integralin geri döndüğü durum; denklem kurulup integral cebirsel olarak çözülür.
- İndirgeme formülü (reduction formula)
- $I_n$'yi $I_{n-1}$ ya da $I_{n-2}$ cinsinden veren özyineli bağıntı (ör. $I_n = x^ne^x - nI_{n-1}$).
- Sınır terimi (boundary term)
- Belirli integralde $[uv]_a^b$ ifadesi; ayrıca hesaplanır, has olmayan durumlarda limitle bulunur.
- Has olmayan integral (improper integral)
- Sonsuz sınırlı ya da integrandı sınırda sınırsız olan integral; limit olarak tanımlanır.
- Ters türev (antiderivative)
- Türevi verilen fonksiyona eşit olan fonksiyon; $v$ bulunurken sabit yazılmaz.
Örnek soru
$\int x\cos x\,dx$ integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
- $x\sin x - \cos x + C$
- $x\sin x + \cos x + C$
- $-x\sin x + \cos x + C$
- $\dfrac{x^2}{2}\sin x + C$
- $x\cos x - \sin x + C$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. LAPTÜ: $x$ polinom, $\cos x$ trigonometrik olduğundan $u = x$, $dv = \cos x\,dx$.
2. $du = dx$, $v = \sin x$.
3. $\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$, çünkü $\int\sin x\,dx = -\cos x$ olduğundan eksi eksiyle artı olur.
4. Kontrol: $(x\sin x + \cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$.
Doğru cevap: $x\sin x + \cos x + C$. En güçlü çeldirici $x\sin x - \cos x + C$ şıkkıdır: $\int\sin x\,dx$'in işareti yanlış alınmıştır, türevi $x\cos x + 2\sin x$ verir.