Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş · 5. Ünite: Çok Parçacıklı Sistemler ve Yaklaşım Yöntemleri
WKB Yaklaşımı ve Alfa Bozunması
Uranyum-238 çekirdeği, kinetik enerjisi $4{,}27\,\text{MeV}$ olan bir alfa parçacığı salar; oysa aynı çekirdeğin Coulomb bariyeri yaklaşık $35\,\text{MeV}$ yüksekliğindedir ve yarı ömür 4,5 milyar yıldır. Polonyum-212 ise yalnızca iki kat büyük enerjili alfalar salıp mikrosaniyede bozunur. Bu 24 mertebelik farkı açıklayan, Gamow'un 1928'deki tünelleme modelidir ve modelin matematiği WKB (Wentzel–Kramers–Brillouin) yaklaşımıdır. Bu konuda yavaş değişen potansiyeller için yarı-klasik dalga fonksiyonunu türetecek, bağlantı formüllerini kullanarak $\oint p\,dx = (n + \tfrac12)h$ kuantizasyon kuralını elde edecek ve Ünite 1'deki Bohr–Sommerfeld kuralını düzelteceksin; ardından tünelleme olasılığı $T \approx e^{-2\gamma}$ ile alfa bozunmasının yarı ömrünü, Geiger–Nuttall yasasını ve modelin sınırlarını hesaplayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- $\psi = A(x)e^{i\phi(x)}$ ansatzından genlik ve faz denklemlerini çıkararak yarı-klasik dalga fonksiyonu $\psi \approx \tfrac{C}{\sqrt{p}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int p\,dx}$'i türetir ve geçerlilik koşulunu yazar.
- Klasik izinli ve yasak bölgelerdeki WKB çözümlerini ayırt eder, bağlantı formüllerinin sonucunu kullanarak eğimli ve dik duvarlı kuyular için kuantizasyon koşullarını yazar.
- WKB kuantizasyonu $\oint p\,dx = (n + \tfrac12)h$'yi harmonik salınıcıya, sonsuz kuyuya ve doğrusal potansiyele uygular; Bohr–Sommerfeld kuralı $\oint p\,dx = nh$ ile farkını açıklar.
- Kalın bir bariyer için $T \approx e^{-2\gamma}$, $\gamma = \tfrac1\hbar\int\lvert p\rvert dx$ bağıntısını kullanır ve Gamow modelinde $r_t$, $V(R)$, $\gamma$ ve $t_{1/2}$'yi hesaplar.
- Geiger–Nuttall yasasını $\gamma \propto Z_d/\sqrt{Q}$ bağımlılığından çıkarır; modelin $r_0$'a duyarlılığını ve ön üstel çarpanın belirsizliğini nicel olarak değerlendirir.
Konu anlatımı
Bağlam: Alfa Bozunması Bilmecesi
Yarı-Klasik Dalga Fonksiyonunun Türetilmesi
Bağlantı Formülleri ve WKB Kuantizasyonu
Kalın Bariyerden Tünelleme ve Gamow Faktörü
Gamow Modeli ve Geiger–Nuttall Yasası
Modelin Sınırları
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- WKB yaklaşımı (WKB approximation)
- Potansiyel yavaş değiştiğinde Schrödinger denkleminin $\psi \approx Cp^{-1/2}\exp(\pm\tfrac{i}{\hbar}\int p\,dx)$ biçimindeki yarı-klasik çözümü.
- Dönüm noktası (turning point)
- $E = V(x)$ olan, klasik parçacığın yön değiştirdiği nokta; WKB çözümünün ıraksadığı ve bağlantı formüllerinin gerektiği yer.
- Bağlantı formülleri (connection formulas)
- Dönüm noktasının iki yanındaki WKB çözümlerini Airy fonksiyonu aracılığıyla eşleştiren, izinli bölgede $\pi/4$ faz kayması öngören kurallar.
- WKB kuantizasyonu
- İki eğimli duvarlı kuyuda $\oint p\,dx = (n + \tfrac12)h$; dik duvarlarda faz kayması değişir. Bohr–Sommerfeld kuralının düzeltilmiş biçimi.
- Gamow faktörü (Gamow factor)
- $\gamma = \tfrac1\hbar\int\sqrt{2m(V - E)}\,dx$; tünelleme olasılığını $T \approx e^{-2\gamma}$ olarak belirleyen boyutsuz bariyer kalınlığı.
- Klasik yasak bölge (classically forbidden region)
- $E < V(x)$ olan, klasik parçacığın giremediği, kuantum dalga fonksiyonunun üstel sönerek bulunduğu bölge.
- Dış dönüm noktası $r_t$
- Alfa bozunmasında Coulomb potansiyelinin $Q$'ya eşit olduğu uzaklık, $r_t = 2Z_d e^2/(4\pi\varepsilon_0Q)$; bariyerin dış kenarı.
- Geiger–Nuttall yasası (Geiger–Nuttall law)
- Aynı elementin alfa yayıcılarında $\log t_{1/2}$'nin $1/\sqrt{Q}$ ile doğrusal ilişkisi; Gamow modelinde $\gamma \propto Z_d/\sqrt Q$'dan çıkar.
- Ön-oluşum olasılığı (preformation probability)
- Alfa kümesinin çekirdek yüzeyinde önceden oluşmuş bulunma olasılığı; Gamow modelinde 1 alınır, gerçekte daha küçüktür.
Örnek soru
Klasik izinli bölgede WKB dalga fonksiyonu $\psi \approx \tfrac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm\frac{i}{\hbar}\int p\,dx}$'tir. Bu çözüm için olasılık yoğunluğu $|\psi|^2$ hakkında hangisi doğrudur?
- $|\psi|^2 \propto 1/p(x)$; parçacık yavaş hareket ettiği yerde daha olasıdır, klasik yoğunlukla aynı
- $|\psi|^2 \propto p(x)$; parçacık hızlı olduğu yerde daha olasıdır
- $|\psi|^2$ sabittir, çünkü üstel faz modülü 1'dir
- $|\psi|^2 \propto 1/p^2(x)$; dönüm noktalarında sıfıra gider
- $|\psi|^2 \propto e^{-2\int p\,dx/\hbar}$; bölge boyunca üstel söner
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $|e^{\pm i\phi}| = 1$; geriye $|C|^2/p(x)$ kalır.
2. $p = mv$ olduğundan $|\psi|^2 \propto 1/v$; klasik parçacığın $dx$ aralığında geçirdiği süre $dt = dx/v$ ile aynı orantı.
3. $|\psi|^2 \propto 1/p$: yavaş bölgelerde olasılık büyük.
"Sabit" şıkkı genliği unutmaktır. Üstel sönüm yasak bölgeye aittir; dönüm noktasında $1/p$ ıraksar (sıfıra gitmez), WKB'nin bozulduğu yer burasıdır.
Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş: tüm konular