Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş · 5. Ünite: Çok Parçacıklı Sistemler ve Yaklaşım Yöntemleri
Zamana Bağlı Pertürbasyon ve Fermi Altın Kuralı
Atomların ışık soğurması ve yayması, çekirdeklerin bozunması, bir kübitin çevresiyle etkileşip enerji kaybetmesi: hepsi bir sistemin zamana bağlı küçük bir etki altında bir durumdan diğerine geçmesidir. Bu konuda etkileşim resminde birinci derece geçiş genliğini türetiyor, sinüsoidal pertürbasyonda rezonansı ve $\text{sinc}^2$ çizgi şeklini çıkarıyor, son durumlar sürekli olduğunda zamanla doğrusal büyüyen olasılıktan Fermi altın kuralı $\Gamma = (2\pi/\hbar)|V_{fi}|^2\rho$'ya ulaşıyoruz. Sonunda kuralın hangi zaman aralığında geçerli olduğunu belirleyebilecek, elektrik dipol seçim kurallarını parite argümanıyla kanıtlayabilecek ve ömür ile doğal çizgi genişliğini hesaplayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Etkileşim resminde $c_f^{(1)}(t) = -\tfrac{i}{\hbar}\int_0^t\langle f|H'(t')|i\rangle e^{i\omega_{fi}t'}dt'$ birinci derece genliğini türetir ve sinüsoidal pertürbasyon için $P^{(1)} = (|V_{fi}|/\hbar)^2\sin^2(\Delta t/2)/(\Delta/2)^2$ sonucunu elde eder.
- $\text{sinc}^2$ çizgisinin tepe yüksekliğini ($\propto t^2$), ilk sıfırını ($2\pi/t$) ve alanını ($\propto t$) hesaplar; sürekli son durumlara geçerek Fermi altın kuralını türetir ve geçiş hızını, ömrü hesaplar.
- Altın kuralın geçerlilik koşullarını ($\Gamma t \ll 1$, çizginin düzey aralığından geniş ve banttan dar olması) sayısal olarak sınar; kesin Rabi çözümüyle birinci derece sonucu karşılaştırır.
- Elektrik dipol yaklaşımını gerekçelendirir; $\Delta l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$ seçim kurallarını parite ve $L_z$ komütatörleriyle kanıtlar.
- Kendiliğinden ve uyarılmış salınımı Einstein katsayılarıyla nitel olarak açıklar; ömür ile doğal çizgi genişliği arasındaki $\Delta\nu = 1/(2\pi\tau)$ bağıntısını kullanır.
Konu anlatımı
1. Durağan Durumlardan Geçişlere
2. Etkileşim Resmi ve Birinci Derece Geçiş Genliği
3. Sinüsoidal Pertürbasyon, Rezonans ve sinc² Çizgi Şekli
4. Sürekli Son Durumlar ve Fermi Altın Kuralı
5. Geçerlilik Koşulları
6. Elektrik Dipol Yaklaşımı ve Seçim Kuralları
7. Kendiliğinden ve Uyarılmış Salınım, Ömür ve Doğal Çizgi Genişliği
8. Çözümlü Örnekler
9. Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Etkileşim resmi (interaction picture)
- $|\psi_I\rangle = e^{iH_0t/\hbar}|\psi\rangle$; bilinen $H_0$ evrimi ayrılır, katsayılar yalnızca $H'_I(t)$ ile değişir.
- Birinci derece geçiş genliği
- $c_f^{(1)} = -\tfrac{i}{\hbar}\int_0^t\langle f|H'(t')|i\rangle e^{i\omega_{fi}t'}dt'$; $P \ll 1$ iken geçerli.
- sinc² çizgi şekli
- $P^{(1)} \propto \sin^2(\Delta t/2)/(\Delta/2)^2$; tepe $\propto t^2$, ilk sıfır $2\pi/t$, alan $2\pi t$.
- Fermi altın kuralı (Fermi's golden rule)
- Sürekli son durumlara geçiş hızı $\Gamma = (2\pi/\hbar)|V_{fi}|^2\rho(E_f)$; $\hbar = 1$ birimlerinde $\Gamma = 2\pi v^2\rho_\omega$.
- Heisenberg zamanı
- $t_H = 2\pi\rho_\omega$; bu süreden sonra çizgi düzey aralığından daralır ve ayrık son durumlar ayırt edilir.
- Elektrik dipol yaklaşımı
- Dalga boyu atomdan çok büyük olduğundan $e^{i\vec k\cdot\vec r} \approx 1$; etkileşim $H' = -\vec d\cdot\vec E(t)$.
- Seçim kuralları
- Dipol matris elemanının sıfırdan farklı olma koşulları: $\Delta l = \pm1$, $\Delta m = 0, \pm1$, $\Delta s = 0$.
- Einstein katsayıları
- Soğurma $B_{12}$, uyarılmış salınım $B_{21}$, kendiliğinden salınım $A_{21}$; $g_1B_{12} = g_2B_{21}$, $A_{21} = (\hbar\omega^3/\pi^2c^3)B_{21}$.
- Doğal çizgi genişliği
- Üst düzeyin sonlu ömründen gelen Lorentz genişliği; $\Delta\nu = 1/(2\pi\tau)$.
Örnek soru
$\hbar = 1$ birimlerinde bir pertürbasyonun matris elemanı $|V_{fi}|/\hbar = 0{,}02\,\text{rad/}\mu\text{s}$, son durumların yoğunluğu $\rho_\omega = 5$ durum/(rad/µs). Fermi altın kuralına göre geçiş hızı $\Gamma$ kaç $\mu\text{s}^{-1}$'dir?
- $0{,}0020$
- $0{,}63$
- $0{,}0126$
- $3{,}2\times10^{-4}$
- $0{,}0251$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\Gamma = 2\pi v^2\rho_\omega$ ($\hbar = 1$ biçimi; SI'da $\Gamma = (2\pi/\hbar)|V_{fi}|^2\rho(E)$).
2. $\Gamma = 2\pi\cdot(0{,}02)^2\cdot5 = 2\pi\cdot0{,}002$ = $0{,}0126\,\mu\text{s}^{-1}$ (ömür yaklaşık $80\,\mu\text{s}$).
3. $0{,}0020$ $2\pi$'yi unutmaktır; $0{,}63$ $v$'yi karelememekten, $3{,}2\times10^{-4}$ $2\pi$'yi paydaya yazmaktan gelir.
Temel Kuantum Fiziği ve Kuantum Teknolojilerine Giriş: tüm konular