Lineer Cebir · 5. Ünite: Doğrusal Dönüşümler (Linear Transformations)
Doğrusal Dönüşümlerin Matris Gösterimi
Sonsuz sayıda vektör üzerinde tanımlı bir doğrusal dönüşüm, yalnızca taban vektörlerinin görüntüleriyle tamamen belirlenir; bu görüntüleri sütun sütun dizmek dönüşümü bir matrise dönüştürür. Bu bölümde standart matrisi $[T]=\begin{bmatrix}T(\vec{e}_1)&\cdots&T(\vec{e}_n)\end{bmatrix}$ biçiminde kurup dönme, yansıma ve izdüşüm matrislerini türeteceğiz; bileşimin neden matris çarpımına karşılık geldiğini göstereceğiz ve aynı dönüşümün farklı tabanlarda nasıl farklı matrislerle yazıldığını $[T]_{\mathcal{B}}=P^{-1}[T]P$ ilişkisiyle açıklayacağız.
Öğrenme hedefleri
- Doğrusal bir $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ dönüşümünün standart matrisini $T(\vec{e}_j)$ görüntülerinden kurar ve $T(\vec{x})=[T]\vec{x}$ ile görüntü hesaplar.
- Dönme, eksene ve doğruya göre yansıma, doğru üzerine dik izdüşüm ve gerilme dönüşümlerinin $2\times2$ matrislerini türetir.
- İki doğrusal dönüşümün bileşiminin matrisini $[T\circ S]=[T][S]$ ile bulur, çarpım sırasını ve değişmezlik yokluğunu yorumlar.
- Verilen bir $\mathcal{B}$ tabanına göre $[T]_{\mathcal{B}}$ matrisini sütunları $[T(\vec{b}_j)]_{\mathcal{B}}$ olarak hesaplar.
- Taban değiştirme matrisi $P$ ile $[T]_{\mathcal{B}}=P^{-1}[T]P$ dönüşümünü uygular; iz ve determinantın taban seçiminden bağımsız olduğunu gösterir.
- Bir dönüşüm için köşegen taban matrisini veren özel doğrultuları belirler (yansıma için $\text{diag}(1,-1)$, izdüşüm için $\text{diag}(1,0)$).
Konu anlatımı
Bağlam: Bir Dönüşümü Sayılarla Nasıl Tarif Ederiz?
Standart Matris Teoremi
Temel Dönüşümlerin Matrisleri: Dönme, Yansıma, İzdüşüm
Bileşke Dönüşüm ve Matris Çarpımı
Bir Tabana Göre Matris: [T]_B
Çözümlü Örnekler
Grafik ve Tablo Yorumu: Matristen Geometriye
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Bağlantılar
Anahtar terimler
- Standart matris (standard matrix)
- Doğrusal $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ dönüşümü için sütunları $T(\vec{e}_1),\dots,T(\vec{e}_n)$ olan ve $T(\vec{x})=[T]\vec{x}$ eşitliğini sağlayan $m\times n$ matris.
- Koordinat vektörü (coordinate vector)
- $\vec{x}=c_1\vec{b}_1+\cdots+c_n\vec{b}_n$ yazılışındaki katsayılardan oluşan $[\vec{x}]_{\mathcal{B}}=(c_1,\dots,c_n)^T$ vektörü.
- Taban matrisi $[T]_{\mathcal{B}}$
- Sütunları $[T(\vec{b}_j)]_{\mathcal{B}}$ olan ve $[T(\vec{x})]_{\mathcal{B}}=[T]_{\mathcal{B}}[\vec{x}]_{\mathcal{B}}$ sağlayan matris; $[T]_{\mathcal{B}}=P^{-1}[T]P$.
- Taban değiştirme matrisi (change-of-basis matrix)
- Sütunları $\mathcal{B}$ tabanının standart bileşenleri olan $P$; $\mathcal{B}$-koordinatlarını standart koordinatlara çevirir.
- Benzer matrisler (similar matrices)
- Bir tersinir $P$ için $B=P^{-1}AP$ olan $A$ ve $B$ matrisleri; aynı dönüşümün farklı tabanlardaki temsilleridir.
- Dönme matrisi (rotation matrix)
- $\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$; uzunlukları ve yönelimi korur, determinantı $1$'dir.
- Yansıma matrisi (reflection matrix)
- Orijinden geçen $\varphi$ açılı doğruya göre $\begin{bmatrix}\cos2\varphi&\sin2\varphi\\ \sin2\varphi&-\cos2\varphi\end{bmatrix}$; kendi tersidir, determinantı $-1$'dir.
- İzdüşüm matrisi (projection matrix)
- Birim $\vec{u}$ doğrultusu için $\vec{u}\vec{u}^T$; $P^2=P$, $\text{tr}\,P=1$, $\det P=0$.
- Bileşke dönüşüm (composition)
- $(T\circ S)(\vec{x})=T(S(\vec{x}))$; matrisi $[T][S]$ çarpımıdır ve önce $S$ uygulanır.
Örnek soru
$T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$, $T(x,y)=(3x-y,\;2x+4y)$ doğrusal dönüşümünün standart matrisi aşağıdakilerden hangisidir?
- $\begin{bmatrix}3&2\\-1&4\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}3&-1\\4&2\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}3&-1\\2&4\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}-1&3\\4&2\end{bmatrix}$
- $\begin{bmatrix}2&4\\3&-1\end{bmatrix}$
Doğru cevap: C
Çözüm
Cevap: $\begin{bmatrix}3&-1\\2&4\end{bmatrix}$
1. Standart matrisin sütunları $T(\vec{e}_1)$ ve $T(\vec{e}_2)$'dir.
2. $T(1,0)=(3\cdot1-0,\;2\cdot1+0)=(3,2)$ ve $T(0,1)=(0-1,\;0+4)=(-1,4)$.
3. Bunları sütun olarak yan yana yazarsak $[T]=\begin{bmatrix}3&-1\\2&4\end{bmatrix}$ olur. Doğrulama: $[T](x,y)^T=(3x-y,\;2x+4y)$.
Çeldiriciler: ilk seçenek görüntüleri satır yazmaktır (transpoz), dördüncü seçenek sütunların sırasını ters çevirir, ikinci ve beşinci seçenek katsayıları yanlış konumlara dizer.