Lineer Cebir · 6. Ünite: Özdeğerler ve Özvektörler (Eigenvalues & Eigenvectors)
Özdeğer ve Özvektör Kavramları (Tanım ve Geometrik Yorum)
Bir doğrusal dönüşüm uzaydaki çoğu vektörü hem döndürür hem de uzatır; ama bazı özel doğrultularda yalnızca uzatır, kısaltır ya da ters çevirir. Bu doğrultulardaki vektörlere özvektör (eigenvector), ölçek çarpanına özdeğer (eigenvalue) denir. Bu konuda $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ tanımını geometrik olarak yorumlayacak, özdeğerleri $\det(A-\lambda I)=0$ denkleminden, özvektörleri $A-\lambda I$ matrisinin sıfır uzayından bulacak ve cebirsel ile geometrik katlılık arasındaki farkı $2\times2$ ve $3\times3$ örneklerle ayırt edeceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir $\mathbf{v}\neq\mathbf{0}$ vektörünün $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ koşuluyla $A$ matrisinin özvektörü olup olmadığını doğrudan çarpma yaparak sınar ve karşılık gelen özdeğeri okur.
- $A\mathbf{x}$ dönüşümünün özvektör doğrultularını ölçekleme çarpanı $\lambda$ ile yorumlar; $\lambda>1$, $0<\lambda<1$, $\lambda<0$, $\lambda=0$ ve $\lambda=1$ durumlarının geometrik anlamını ayırt eder.
- $(A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}$ denkleminin sıfırdan farklı çözümü olması koşulunu $\det(A-\lambda I)=0$ karakteristik denklemine dönüştürür ve $2\times2$ ile $3\times3$ matrisler için karakteristik polinomu yazar.
- Verilen bir özdeğer için $A-\lambda I$ matrisini satır indirgeyerek özuzay $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$ için bir taban bulur.
- Özdeğerlerin cebirsel katlılığını (karakteristik polinomdaki kök katı) ve geometrik katlılığını ($\dim E_\lambda$) hesaplar, $1\le g_\lambda\le a_\lambda$ eşitsizliğini kullanır.
- Özdeğer toplamının iz ($\operatorname{tr}A$), çarpımının determinant ($\det A$) olduğunu hesapların doğruluk kontrolü için kullanır; üçgen matrislerin özdeğerlerini köşegenden okur.
- Döndürme matrisi gibi gerçel özvektörü olmayan ve kayma matrisi gibi geometrik katlılığı cebirsel katlılığın altında kalan (defektif) örnekleri tanır ve nedenini açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Hangi Vektörler Yönünü Korur?
Tanım: Av = λv
Geometrik Yorum: Yalnızca Ölçeklenen Doğrultular
Karakteristik Denklem: Özdeğerleri Bulma
Çözümlü Örnekler
Cebirsel ve Geometrik Katlılık
Yararlı Özellikler ve Bağlantılar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet
Anahtar terimler
- Özdeğer (Eigenvalue)
- $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ eşitliğini sıfırdan farklı bir $\mathbf{v}$ için sağlayan $\lambda$ skaleri; özvektör doğrultusundaki ölçek çarpanıdır ve $\det(A-\lambda I)=0$ denkleminin köküdür.
- Özvektör (Eigenvector)
- $A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}$ eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı vektör; $A$ altında doğrultusu değişmeyen vektör. Her sıfırdan farklı skaler katı da özvektördür.
- Özuzay (Eigenspace)
- Bir $\lambda$ özdeğerine ait tüm özvektörler ile sıfır vektörünün oluşturduğu alt uzay: $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$. Bir doğru, düzlem ya da daha büyük boyutlu olabilir.
- Karakteristik Polinom (Characteristic Polynomial)
- $p(\lambda)=\det(A-\lambda I)$; $n\times n$ matris için $n$. dereceden polinom. Gerçel kökleri $A$'nın özdeğerleridir. $2\times2$ için $\lambda^2-\operatorname{tr}A\,\lambda+\det A$.
- Karakteristik Denklem (Characteristic Equation)
- $\det(A-\lambda I)=0$ denklemi; $A-\lambda I$ tekil olacak $\lambda$ değerlerini, yani özdeğerleri belirler.
- Cebirsel Katlılık (Algebraic Multiplicity)
- Bir özdeğerin karakteristik polinomda kök olarak kaç kez geçtiği; $a_\lambda$ ile gösterilir. Gerçel özdeğerlerin katlılık toplamı $n$'i aşamaz.
- Geometrik Katlılık (Geometric Multiplicity)
- Özuzayın boyutu $g_\lambda=\dim E_\lambda=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I)$; $\lambda$'ya ait doğrusal bağımsız özvektör sayısı. Daima $1\le g_\lambda\le a_\lambda$.
- Defektif Matris (Defective Matrix)
- En az bir özdeğerinde $g_\lambda<a_\lambda$ olan matris; $n$ tane bağımsız özvektörü yoktur. Örnek: $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$.
- İz (Trace)
- Ana köşegen elemanlarının toplamı $\operatorname{tr}A$; özdeğerlerin (katlarıyla) toplamına eşittir. Determinant ise özdeğerlerin çarpımıdır.
- Değişmez Doğru (Invariant Line)
- $A$ altında kendi üzerine giden, orijinden geçen doğru; bir özvektörün doğrultusudur. Dönüşüm bu doğru üzerinde yalnızca $\lambda$ ile ölçekleme yapar.
Örnek soru
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$ matrisi için aşağıdaki vektörlerden hangisi bir özvektördür?
- $(1,0)$
- $(1,1)$
- $(1,-1)$
- $(2,3)$
- $(3,2)$
Doğru cevap: B
Çözüm
Cevap: $(1,1)$
1. Bir vektörün özvektör olması için $A\mathbf{v}$'nin $\mathbf{v}$'nin skaler katı olması gerekir. Seçenekleri sırayla çarp.
2. $A(1,1)=(1+2,\;3+0)=(3,3)=\mathbf{3}\,(1,1)$: skaler kat var, $\lambda=3$.
3. Diğerleri: $A(1,0)=(1,3)$, $A(1,-1)=(-1,3)$, $A(2,3)=(8,6)$, $A(3,2)=(7,9)$. Hiçbiri kendi vektörünün katı değildir.
Kontrol: $\operatorname{tr}A=1$, $\det A=-6$ olduğundan $\lambda^2-\lambda-6=0$ ve $\lambda=3,-2$; $\lambda=-2$ özvektörü $(2,-3)$'tür. Çeldirici $(2,3)$, bu vektörün işaret hatalı hâlidir ve özvektör değildir.