Modern Fizik · 4. Ünite: Schrödinger Denklemi
Dalga Fonksiyonu ve Olasılık
Kuantum mekaniğinde bir parçacığın durumu, yörüngesiyle değil karmaşık değerli bir dalga fonksiyonu (wave function) $\Psi(x,t)$ ile tanımlanır. Bu fonksiyonun kendisi ölçülemez; ölçülebilen şey, karesinin verdiği olasılıktır (Born yorumu). Bu konuda $|\psi|^2$'yi olasılık yoğunluğu olarak yorumlamayı, dalga fonksiyonunu normalize etmeyi, $\langle x \rangle$, $\langle p \rangle$ ve $\Delta x$ gibi beklenen değerleri hesaplamayı ve bir fonksiyonun fiziksel olarak kabul edilebilir olup olmadığını sınamayı öğreneceksin.
Öğrenme hedefleri
- Born yorumunu kullanarak $|\psi(x)|^2$ üzerinden belirli bir aralıkta bulunma olasılığını integral olarak hesaplar.
- Verilen bir dalga fonksiyonundaki genlik sabitini $A$, normalizasyon koşulu $\int |\psi|^2 dx = 1$'den bulur.
- $\langle x \rangle$, $\langle x^2 \rangle$ ve $\Delta x = \sqrt{\langle x^2\rangle - \langle x\rangle^2}$ değerlerini hesaplar; $\langle p \rangle$ için işlemciyi $-i\hbar\, d/dx$ olarak uygular.
- Bir fonksiyonun tek değerlilik, süreklilik, sonluluk ve normalize edilebilirlik koşullarını sağlayıp sağlamadığını gerekçeyle belirler.
- Dalga fonksiyonunun birimini ($\text{m}^{-1/2}$, $\text{m}^{-3/2}$) boyut analiziyle bulur.
- Dalga paketinin konum ve momentum yayılımını, genel faz ile bağıl fazın fiziksel farkını ve olasılık akısının anlamını nitel olarak açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Çift Yarık Deneyi ve Olasılık Dalgası
Born Yorumu ve Olasılık Yoğunluğu
Normalizasyon: Genlik Sabitini Bulmak
Beklenen Değerler: ⟨x⟩, ⟨x²⟩, Δx ve ⟨p⟩
Kabul Edilebilir Dalga Fonksiyonunun Koşulları
Dalga Paketi, Zaman Evrimi ve Olasılık Akısı
Çözümlü Örnekler ve Sınır Durumu: Kutudaki Parçacık
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Dalga fonksiyonu (wave function)
- Parçacığın durumunu tanımlayan, genelde karmaşık değerli $\Psi(x,t)$; kendisi ölçülemez, karesi olasılık yoğunluğunu verir.
- Olasılık yoğunluğu (probability density)
- $|\psi(x)|^2$; birim uzunluk başına bulunma olasılığı, birimi $\text{m}^{-1}$ (bir boyutta).
- Born yorumu (Born interpretation)
- $|\Psi|^2dx$ niceliğinin parçacığın $x$ ile $x+dx$ arasında bulunma olasılığı olduğunu söyleyen postülat.
- Normalizasyon (normalization)
- $\int|\psi|^2dx=1$ koşulunu sağlayan genlik sabitini seçme işlemi.
- Beklenen değer (expectation value)
- Aynı durumda hazırlanmış çok sistemdeki ölçümlerin ortalaması: $\langle Q\rangle=\int\psi^*\hat Q\psi\,dx$.
- Momentum işlemcisi (momentum operator)
- $\hat p=-i\hbar\,d/dx$; düzlem dalga $e^{ikx}$ için özdeğeri $\hbar k$.
- Kabul edilebilir dalga fonksiyonu
- Tek değerli, sürekli, sonlu ve normalize edilebilir (sonlu $V$ için $\psi'$ de sürekli) fonksiyon.
- Dalga paketi (wave packet)
- Farklı $k$'lı dalgaların üst üste binmesiyle oluşan yerel dalga; konum ve momentum yayılımı $\Delta x\,\Delta p\ge\hbar/2$.
- Olasılık akısı (probability current)
- $j=(\hbar/m)\,\text{Im}(\Psi^*\partial_x\Psi)$; olasılığın korunumunu ifade eden süreklilik denkleminin akı terimi.
Örnek soru
Bir boyutlu bir parçacığın dalga fonksiyonu $\psi(x) = A\,e^{-x^2/(2a^2)}$ olarak veriliyor ($a = 1{,}00\,\text{nm}$). Normalizasyon koşulundan $A$ kaç $\text{nm}^{-1/2}$'dir? ($\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/a^2}dx = a\sqrt{\pi}$)
- 0,564
- 0,707
- 0,751
- 1,000
- 1,331
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Normalizasyon: $\int |\psi|^2dx = A^2\int e^{-x^2/a^2}dx = A^2\,a\sqrt{\pi} = 1$.
2. Buradan $A^2 = 1/(a\sqrt{\pi})$ ve $A = (\pi a^2)^{-1/4}$.
3. $a = 1\,\text{nm}$ için $A = \pi^{-1/4} = 0{,}751\,\text{nm}^{-1/2}$. Birim: $\text{m}^{-1/2}$, bir boyutta beklenen birim.
Cevap: 0,751. En güçlü çeldirici $0{,}564 = 1/\sqrt{\pi}$: karekök alma işlemini $A^2$ yerine $A$'ya uygulamayı unutmaktır. $1{,}331=\pi^{1/4}$ ise sonucun tersidir.