Modern Fizik · 4. Ünite: Schrödinger Denklemi
Zamana Bağlı Olmayan Schrödinger Denklemi
Potansiyeli zamana bağlı olmayan sistemlerde Schrödinger denklemi, zaman ve konum kısımlarına ayrıştırılır; geriye kalan konum denklemi (zamana bağlı olmayan Schrödinger denklemi, TISE) bir özdeğer problemidir. Çözümlerin sonsuzda sıfıra gitmesi şartı yalnızca belirli enerjilere izin verir: enerji nicemlenmesi matematiksel bir sınır koşulunun doğrudan sonucudur. Bu konuda denklemi ayrıştırmayı, çözümün eğriliğini yorumlamayı, sınır koşullarından enerji düzeylerini bulmayı ve harmonik osilatörün ile sonsuz kuyunun spektrumunu klasik beklentilerle karşılaştırmayı öğreneceksin.
Öğrenme hedefleri
- Zamana bağlı Schrödinger denkleminden değişkenlere ayırma ile $\Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ biçimli durağan durumları ve zamandan bağımsız $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$ denklemini türetir.
- Durağan durumlarda $|\Psi|^2$'nin zamandan bağımsız olduğunu ve beklenen değerlerin sabit kaldığını gösterir.
- $\psi''/\psi$ işaretinden klasik izinli (salınımlı) ve yasak (üstel) bölgeyi ayırt eder; $E<V_{\min}$ için çözüm olmadığını gerekçelendirir.
- Sonsuz kuyu için sınır koşullarından $k_n=n\pi/L$ ve $E_n=n^2\pi^2\hbar^2/(2mL^2)$ değerlerini bulur; sayısal enerji ve geçiş dalga boyunu hesaplar.
- Normalize edilebilirlik şartının neden enerjiyi nicelediğini, düğüm sayısı $=n-1$ kuralıyla birlikte açıklar.
- Harmonik osilatör için $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$ spektrumunu, sıfır noktası enerjisini ve Gauss taban durumunu doğrular; kuantum ile klasik olasılık dağılımlarını karşılaştırır.
Konu anlatımı
Bağlam: Neden Ayrık Enerji Düzeyleri?
Değişkenlere Ayırma: Durağan Durumlar ve TISE
ψ″ Eğriliği: İzinli ve Yasak Bölgeler
Nicemlenme: Normalize Edilebilirlik Enerjiyi Neden Seçer?
Çözümlü Örnek: Verilen ψ'nin TISE'yi Sağladığını Gösterme
Harmonik Osilatör (Nitel) ve Düğüm Sayısı
Kuantum–Klasik Karşılaştırma ve Sınır Durumları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Zamana bağlı olmayan Schrödinger denklemi (TISE)
- $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\psi''+V\psi=E\psi$; Hamilton işlemcisinin özdeğer denklemi.
- Durağan durum (stationary state)
- $\Psi=\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$ biçimli durum; $|\Psi|^2$ ve bütün beklenen değerler zamandan bağımsızdır.
- Özdeğer ve özfonksiyon (eigenvalue, eigenfunction)
- $\hat H\psi=E\psi$ denklemini sağlayan kabul edilebilir $E_n$ ve $\psi_n$.
- Enerji nicemlenmesi (energy quantization)
- Sınır koşulları ve normalize edilebilirlik nedeniyle bağlı sistemlerde yalnızca ayrık enerjilere izin verilmesi.
- Sıfır noktası enerjisi (zero-point energy)
- Bağlı parçacığın taban durum enerjisi; sonsuz kuyuda $E_1>0$, harmonik osilatörde $\hbar\omega/2$.
- Düğüm (node)
- $\psi=0$ olan iç nokta; $n.$ sonsuz kuyu durumunda $n-1$ düğüm vardır.
- Klasik izinli ve yasak bölge
- $E>V$ bölgesinde $\psi$ salınır; $E<V$ bölgesinde $\psi$ üstel olarak söner (ama sıfır değildir).
- Harmonik osilatör (harmonic oscillator)
- $V=\tfrac12m\omega^2x^2$ potansiyeli; $E_n=(n+\tfrac12)\hbar\omega$, eşit aralıklı spektrum.
- Karşılık ilkesi (correspondence principle)
- Büyük kuantum sayılarında kuantum öngörülerinin klasik sonuçlara yaklaşması.
Örnek soru
Potansiyeli zamana bağlı olmayan bir sistemde durağan durum $\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-iEt/\hbar}$ için olasılık yoğunluğu $|\Psi(x,t)|^2$ hakkında ne söylenebilir?
- $e^{-2iEt/\hbar}$ ile salınır.
- Zamanla üstel olarak azalır.
- Zamandan bağımsızdır: $|\Psi|^2=|\psi(x)|^2$.
- $E$ ile orantılı olarak zamanla artar.
- Yalnızca $E=0$ iken zamandan bağımsızdır.
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $|\Psi|^2=\Psi^*\Psi=\psi^*(x)e^{+iEt/\hbar}\,\psi(x)e^{-iEt/\hbar}$.
2. Üstel faktörler birbirini götürür ($E$ gerçel olduğundan $|e^{-iEt/\hbar}|=1$).
3. Sonuç $|\psi(x)|^2$, yani $t$'den bağımsızdır; $\langle x\rangle$ ve $\langle p\rangle$ da sabittir.
Cevap: C. "Salınır" çeldiricisi, faz çarpanının kendisinin salındığını ($\Psi$ salınır, $|\Psi|^2$ salınmaz) karıştırır. Zaman bağımlılığı ancak farklı enerjili iki durumun toplamında ortaya çıkar.