Modern Fizik · 8. Ünite: İstatistiksel Fizik
Fermi-Dirac Dağılımı
Bir metalin iletim elektronları, oda sıcaklığında bile klasik bir gaz gibi davranmaz: Pauli dışlama ilkesi onları $T=0$'da bile birkaç eV'luk enerjilere istifler. Bu konuda Fermi-Dirac dağılımını türetecek, serbest elektron gazının Fermi enerjisini ve durum yoğunluğunu hesaplayacak, metallerin neden klasik tahminden çok daha küçük bir elektronik ısı sığasına sahip olduğunu nicel olarak açıklayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Fermi-Dirac dağılımını $f(E)=1/(e^{(E-\mu)/kT}+1)$ biçiminde, tek bir durumun $n=0,1$ işgal olasılığından türetir.
- $T=0$'da dağılımın basamak olduğunu, $T>0$'da basamağın $E_F$ çevresinde yaklaşık $kT$ genişliğinde yumuşadığını ve $f(E_F)=1/2$ olduğunu gösterir.
- Serbest elektron gazı için $E_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}$, $T_F=E_F/k$, $v_F$ ve $\langle E\rangle=\tfrac35E_F$ değerlerini hesaplar (Cu, Na, Al).
- Durum yoğunluğunu $g(E)\propto\sqrt E$ olarak türetir ve $g(E)f(E)$ grafiğini yorumlar.
- Pauli dışlama ilkesini tek boyutlu kutuda elektronları yerleştirerek uygular; toplam ve Fermi enerjisini hesaplar.
- Metaldeki elektron ısı sığasının klasik değerden neden $\sim kT/E_F$ kat küçük olduğunu açıklar ve $T\gg T_F$ ile Maxwell-Boltzmann limitini ilişkilendirir.
Konu anlatımı
Bağlam: Metaldeki Elektronlar Neden Klasik Değildir?
Fermiyonlar, Pauli İlkesi ve Fermi-Dirac Dağılımı
Serbest Elektron Gazı: Fermi Enerjisi ve Durum Yoğunluğu
Sıfırdan Farklı Sıcaklık: Yumuşayan Basamak ve Elektron Isı Sığası
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Klasik Limit
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Fermiyon (fermion)
- Spini yarım tam sayı olan parçacık; dalga fonksiyonu yer değiştirmeye göre antisimetriktir ve Pauli ilkesine uyar.
- Pauli dışlama ilkesi (Pauli exclusion principle)
- İki özdeş fermiyon aynı kuantum durumunda bulunamaz; tek-parçacık durumunun işgali 0 ya da 1'dir.
- Fermi-Dirac dağılımı
- Tek-parçacık durumunun ortalama doluluğu $f(E)=1/(e^{(E-\mu)/kT}+1)$.
- Fermi enerjisi (Fermi energy)
- $T=0$'da dolu olan en yüksek enerji; serbest elektron gazında $E_F=(\hbar^2/2m)(3\pi^2n)^{2/3}$.
- Fermi sıcaklığı (Fermi temperature)
- $T_F=E_F/k_B$; gazın dejenere ($T\ll T_F$) ya da klasik ($T\gg T_F$) olduğunu belirleyen ölçek.
- Durum yoğunluğu (density of states)
- Birim enerji aralığındaki tek-parçacık durumlarının sayısı; üç boyutlu serbest gazda $g(E)\propto\sqrt E$.
- Fermi küresi
- $\mathbf k$ uzayında $T=0$'da dolu durumların oluşturduğu, yarıçapı $k_F=(3\pi^2n)^{1/3}$ olan küre.
- Dejenerelik basıncı (degeneracy pressure)
- Pauli ilkesinden doğan, $T=0$'da bile sıfır olmayan basınç, $P=\tfrac25nE_F$.
- Elektronik ısı sığası
- Metaldeki iletim elektronlarının katkısı, $C_{el}=(\pi^2/2)(kT/E_F)Nk$; klasik tahminden çok küçüktür.
Örnek soru
Serbest elektron gazında elektron yoğunluğu $n$ sekiz katına çıkarılırsa Fermi enerjisi $E_F$ kaç katına çıkar?
- 2.00
- 8.00
- 2.83
- 4.00
- Değişmez
Doğru cevap: D
Çözüm
1. $E_F=\dfrac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2n)^{2/3}\propto n^{2/3}$.
2. $n\to8n$: çarpan $8^{2/3}=(2^3)^{2/3}=2^2=$ 4.
Çeldiriciler: 8.00 doğrusal bağımlılık, 2.83 ($8^{1/2}$) ve 2.00 ($8^{1/3}$) üs hatalarıdır. $E_F$ yoğunluktan bağımsız değildir: yoğunluk arttıkça $k_F=(3\pi^2n)^{1/3}$ büyür ve Pauli ilkesi elektronları daha yüksek enerjilere iter.