Modern Fizik · 8. Ünite: İstatistiksel Fizik
Kara Cisim Işımasının İstatistiksel Yorumu
Boşluk ışıması, ısıl dengedeki bir foton gazıdır ve Planck yasası bu gazın istatistik mekaniğinin sonucudur. Burada iki soruyu cevaplarız: bir kutuda dalga boyu aralığı başına kaç bağımsız kip vardır ve her kipin ısıl dengedeki ortalama enerjisi nedir? Kip sayımı ile ortalama enerjiyi çarparak Planck dağılımını, Bose–Einstein istatistiğiyle foton doluluk sayısını ve evrenin kozmik mikrodalga artalan ışımasını ($T=2{,}725\,\text{K}$) niceliksel olarak ele alacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Kenarı $L$ olan bir boşlukta ayakta dalga kiplerini sayarak kip yoğunluğunu $g(f)=8\pi f^2/c^3$ olarak türetir.
- Boltzmann ağırlıklı $E_n=nhf$ düzeylerinden kip başına ortalama enerjiyi $\langle E\rangle=hf/(e^{hf/kT}-1)$ bulur ve eşbölüşümle ($kT$) karşılaştırır.
- Foton gazının Bose–Einstein dağılımını ($\mu=0$) ve ortalama doluluk sayısını $\bar n=1/(e^{hf/kT}-1)$ yorumlar.
- Planck dağılımından enerji yoğunluğunu $u=aT^4$, foton sayı yoğunluğunu ve basıncı ($P=u/3$) hesaplar.
- Rayleigh–Jeans ve Wien limitlerinin istatistiksel nedenini ($\langle E\rangle\to kT$ ve $\langle E\rangle\to hf\,e^{-hf/kT}$) açıklar.
- Kozmik mikrodalga artalan ışımasının tepe frekansı, foton yoğunluğu ve enerji yoğunluğunu hesaplar; frekans ve dalga boyu tepelerinin neden farklı olduğunu açıklar.
Konu anlatımı
Bağlam: Işık Gazı ve İstatistik Mekanik Programı
Kip Sayımı: g(f) = 8πf²/c³
Kip Başına Ortalama Enerji ve Bose–Einstein İstatistiği
Planck Dağılımı: Enerji Yoğunluğu, Foton Sayısı ve Basınç
Klasik ve Eski Limitler: İstatistiksel Okuma
Evrenin Işıması: Kozmik Mikrodalga Artalan (2,725 K)
Çözümlü Örnekler
Simülasyon Rehberi ve Sık Yapılan Hatalar
Anahtar terimler
- Kip yoğunluğu (density of modes)
- Birim hacimde ve birim frekans aralığında bağımsız ayakta dalga kipi sayısı: $g(f)=8\pi f^2/c^3$ (iki polarizasyon dahil).
- Ortalama kip enerjisi
- Isıl dengede frekansı $f$ olan kipin ortalama enerjisi $\langle E\rangle=hf/(e^{hf/kT}-1)$; $hf\ll kT$ için $kT$.
- Bose–Einstein dağılımı
- Ayırt edilemeyen bozonların ortalama doluluk sayısı $\bar n=1/(e^{(E-\mu)/kT}-1)$; fotonlar için $\mu=0$.
- Kimyasal potansiyel $\mu=0$
- Foton sayısı korunmadığından dengede serbest enerjinin foton sayısına göre türevi sıfırdır.
- Planck dağılımı (frekansa göre)
- $u(f,T)=\frac{8\pi hf^3}{c^3}[e^{hf/kT}-1]^{-1}$; enerji yoğunluğunun frekans dağılımı.
- Radyasyon sabiti $a$
- $u=aT^4$ ile tanımlanan sabit; $a=4\sigma/c=7{,}566\times10^{-16}\,\text{J}\,\text{m}^{-3}\text{K}^{-4}$.
- Kozmik mikrodalga artalan (CMB)
- Evrenin $T=2{,}725\,\text{K}$'lik foton gazı kalıntısı; tepe frekansı 160 GHz, foton yoğunluğu yaklaşık 411 cm⁻³.
- Radyasyon basıncı
- Kütlesiz foton gazı için $P=u/3=aT^4/3$.
Örnek soru
Büyük bir boşlukta (iki polarizasyon dahil) kip yoğunluğu $g(f)=8\pi f^2/c^3$'tür. $\lambda=500\,\text{nm}$ ($f\approx6{,}0\times10^{14}\,\text{Hz}$) civarında birim hacim ve birim frekans başına kip sayısı yaklaşık kaçtır? ($c=3{,}0\times10^{8}\,\text{m/s}$)
- $3{,}4\times10^{5}\,\text{m}^{-3}\text{Hz}^{-1}$
- $1{,}7\times10^{5}\,\text{m}^{-3}\text{Hz}^{-1}$
- $6{,}7\times10^{5}\,\text{m}^{-3}\text{Hz}^{-1}$
- $1{,}0\times10^{14}\,\text{m}^{-3}\text{Hz}^{-1}$
- $4{,}2\times10^{4}\,\text{m}^{-3}\text{Hz}^{-1}$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. $f^2=(5{,}996\times10^{14})^2=3{,}595\times10^{29}\,\text{Hz}^2$ ve $c^3=2{,}694\times10^{25}\,\text{m}^3/\text{s}^3$.
2. $g=8\pi\times3{,}595\times10^{29}/2{,}694\times10^{25}=3{,}35\times10^{5}\,\text{m}^{-3}\text{Hz}^{-1}$.
Cevap: $3{,}4\times10^{5}$ (A).
$1{,}7\times10^{5}$ tek polarizasyon alınırsa ($4\pi$), $6{,}7\times10^{5}$ polarizasyon iki kez sayılırsa, $1{,}0\times10^{14}$ $c^3$ yerine $c^2$ konursa, $4{,}2\times10^{4}$ ise $8\pi$ yerine $\pi$ yazılırsa çıkar.