Modern Fizik · 2. Ünite: Relativistik Dinamik
Lorentz Değişmezleri
Enerji ve momentum gözlemciye göre değişir, ama bunlardan kurulan $E^2 - (pc)^2$ bileşimi her eylemsiz çerçevede aynı değeri alır; bu değer parçacığın kütlesinin karesidir. Bu konuda dört-vektör kavramını, $(E/c,\vec p)$ dört-momentumunu, Lorentz skalerlerini ve bir parçacık sisteminin değişmez kütlesini kurar; sabit hedefli çarpışma ile çarpıştırıcıyı $\sqrt{s}$ üzerinden karşılaştırırsın. Sonunda bir tepkimenin eşik enerjisini ve bir bozunmanın ürünlerinden ana parçacığın kütlesini hesaplayabilirsin.
Öğrenme hedefleri
- $(E/c,\vec p)$ dört-momentumunu Lorentz dönüşümü ile bir çerçeveden diğerine taşır ve $E^2 - (pc)^2$ değerinin değişmediğini cebirsel olarak gösterir.
- Verilen $E$ ve $pc$ değerlerinden parçacığın kütlesini ve durgun çerçevesine geçişteki $E'$, $p'c$ değerlerini hesaplar.
- Parçacık sisteminin değişmez kütlesini $M^2c^4 = (\sum E)^2 - |\sum \vec p|^2c^2$ ile bulur ve $M \geq \sum m_i$ olduğunu gerekçelendirir.
- Sabit hedef ve çarpıştırıcı için $\sqrt{s}$ ifadelerini türetir; verilen $\sqrt{s}$ için gereken demet enerjisini karşılaştırır.
- Bir tepkimenin sabit hedefte eşik kinetik enerjisini $K_{eş} = \dfrac{(\sum m_{son})^2 - (m_1 + m_2)^2}{2m_2}c^2$ ile hesaplar.
- Bir parçacığın iki fotona bozunmasında açıyla enerjiyi $M^2c^4 = 2E_1E_2(1 - \cos\theta)$ ilişkisiyle bağlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Gözlemciden Bağımsız Neyi Ölçebiliriz?
Dört-Vektörler ve Dört-Momentum
Değişmez Kütle: $E^2 - (pc)^2$ Neden Değişmez?
Sistem Değişmez Kütlesi ve Bozunma
Sabit Hedef ve Çarpıştırıcı: $\sqrt{s}$ ve Eşik Enerjisi
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Özet ve Diğer Konularla Bağlantı
Anahtar terimler
- Dört-vektör (four-vector)
- Lorentz dönüşümü altında $(ct, x, y, z)$ gibi dönüşen dört bileşenli nicelik; uzunluğu değişmezdir.
- Dört-momentum (four-momentum)
- $P^\mu = (E/c, \vec p)$; karesi $m^2c^2$ (parçacık kütlesi).
- Lorentz skaleri (Lorentz scalar)
- Tüm eylemsiz çerçevelerde aynı değeri alan nicelik; örneğin $m$, $E^2 - (pc)^2$.
- Değişmez kütle (invariant mass)
- Sistemin dört-momentumunun uzunluğu: $M^2c^4 = (\sum E)^2 - |\sum \vec p|^2c^2$.
- Kütle merkezi çerçevesi
- Toplam momentumun sıfır olduğu çerçeve; orada $Mc^2 = \sum E$.
- Mandelstam $s$
- $s = M^2c^4$ (kütle merkezi enerjisinin karesi); $\sqrt{s}$ yeni kütle yaratmaya ayrılabilir enerjidir.
- Sabit hedef (fixed target)
- Hedefin laboratuvarda durgun olduğu çarpışma; $\sqrt{s} \propto \sqrt{E}$.
- Çarpıştırıcı (collider)
- Zıt yönlü iki demetin çarpıştığı makine; $\sqrt{s} = 2E$ (simetrik).
- Eşik enerjisi (threshold energy)
- Tepkimenin gerçekleşmesi için gereken en küçük $\sqrt{s}$ (ya da sabit hedefte $K$).
Örnek soru
Aşağıdakilerden hangisi bir Lorentz skaleridir, yani tüm eylemsiz çerçevelerde aynı değeri alır?
- Toplam enerji $E$
- Momentumun $x$ bileşeni $p_xc$
- $E^2 - (pc)^2$
- Kinetik enerji $K = E - mc^2$
- Parçacığın hızı $\beta = pc/E$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Dönüşümden: $E'^2 - (p'_xc)^2 = \gamma^2(1 - \beta^2)\left[E^2 - (p_xc)^2\right] = E^2 - (p_xc)^2$.
2. Bu bileşim $(mc^2)^2$'ye eşittir ve her çerçevede aynıdır.
Doğru cevap: $E^2 - (pc)^2$. $E$, $p_xc$ dört-momentumun bileşenleridir; çerçeveyle değişir. $K$ ve $\beta$ de çerçeveye bağlıdır (durgun çerçevede $K = 0$, $\beta = 0$).