Modern Fizik · 2. Ünite: Relativistik Dinamik
Relativistik Çarpışmalar
Yüksek enerjili bir çarpışmada parçacıkların kinetik enerjisi yeni parçacıkların kütlesine dönüşebilir; bu yüzden klasik "kinetik enerji korunur ya da kaybolur" anlatımı yetmez. Bu konuda toplam enerji ve momentumun korunumunu birlikte kullanarak elastik ve esnek olmayan relativistik çarpışmaları çözecek, değişmez kütle ve kütle merkezi çerçevesi kavramıyla parçacık üretimi için eşik enerjisini türeteceksiniz. Sonunda bir hızlandırıcıda hedef parçacığın sabit mi, ışının karşıdan mı geldiğinin gerekli enerjiyi nasıl değiştirdiğini nicel olarak açıklayabilirsiniz.
Öğrenme hedefleri
- Dört-momentum korunumunu ($\sum E$ ve $\sum\vec p$) kullanarak tek boyutlu relativistik elastik ve tam esnek olmayan çarpışmaları çözer.
- Bir parçacık sisteminin değişmez kütlesini $M^2c^4=(\sum E)^2-|\sum\vec p\,c|^2$ ile hesaplar ve kütle merkezi çerçevesinin hızını bulur.
- Sabit hedefli çarpışma için eşik kinetik enerjisini $K_{\text{eş}}=\dfrac{(\sum M_{\text{ürün}})^2-(m_1+m_2)^2}{2m_2}c^2$ bağıntısıyla türetir ve hesaplar.
- Sabit hedefli ve çarpışmalı ışın (collider) düzeneklerinde aynı $\sqrt{s}$ için gereken ışın enerjilerini karşılaştırır.
- Eşit kütleli elastik çarpışmada saçılan parçacıklar arasındaki açının relativistik durumda $90^\circ$'den küçük olduğunu gösterir.
Konu anlatımı
Bağlam: Antiprotonu Bulmak İçin Gereken Enerji
Korunum Yasaları ve Dört-Momentum
Elastik Çarpışma ve Tam Esnek Olmayan Çarpışma
Kütle Merkezi Çerçevesi ve Değişmez Kütle
Eşik Enerjisi ve Parçacık Üretimi
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Yorum
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Dört-momentum (four-momentum)
- $(E/c,\vec p)$; çarpışmada toplamı korunur, Lorentz değişmez uzunluğu kütledir.
- Değişmez kütle (invariant mass)
- $M^2c^4=(\sum E)^2-|\sum\vec p c|^2$; sistemin tüm çerçevelerde aynı olan kütlesi.
- Kütle merkezi çerçevesi (center-of-momentum frame)
- Toplam momentumun sıfır olduğu eylemsiz çerçeve; toplam enerjisi $\sqrt{s}=Mc^2$.
- Eşik enerjisi (threshold energy)
- Belirli bir ürün kümesini üretebilmek için gereken en küçük ışın kinetik enerjisi.
- Tam esnek olmayan çarpışma (perfectly inelastic collision)
- Cisimlerin birleştiği çarpışma; kinetik enerjiden iç enerji ve kütle artışı kazanılır.
- Elastik çarpışma (elastic collision)
- Durgun kütlelerin değişmediği, toplam kinetik enerjinin korunduğu çarpışma.
- Çarpışmalı ışın (collider)
- İki ışının karşıdan çarpıştırıldığı düzenek; $\sqrt{s}=2E_{\text{ışın}}$ (eşit kütle, eşit enerji).
- Mandelstam değişkeni $s$
- $s=(\sum E)^2-|\sum\vec p c|^2$ (c=1 birimlerinde $s=M^2$).
Örnek soru
Kütleleri $m$ olan iki özdeş parçacık, laboratuvar çerçevesinde zıt yönlerde $0{,}6c$ hızla çarpışıp birleşiyor. Birleşen cismin durgun kütlesi nedir?
- $1{,}6\,m$
- $2{,}0\,m$
- $2{,}5\,m$
- $3{,}1\,m$
- $1{,}25\,m$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\gamma=1/\sqrt{1-0{,}36}=1{,}25$.
2. Toplam momentum sıfır olduğundan birleşen cisim durur; toplam enerji korunur: $Mc^2=2\gamma mc^2$.
3. $M=2\times1{,}25\,m=\mathbf{2{,}5\,m}$.
$2{,}0\,m$ klasik sonuçtur (kinetik enerji sonradan ısıya gider, kütleye eklenmez). $1{,}6\,m=2m/\gamma$ ve $3{,}1\,m=2\gamma^2m$ yanlış $\gamma$ kullanımlarıdır.