Modern Fizik · 8. Ünite: İstatistiksel Fizik
Maxwell-Boltzmann Dağılımı
Bir gazın içindeki $10^{25}$ molekülün her birinin hızını izlemek imkânsızdır; ama hızların *dağılımı* çok kesin bir yasaya uyar. Bu konuda Boltzmann çarpanından yola çıkarak Maxwell-Boltzmann hız ve enerji dağılımlarını türetecek, karakteristik hızları ($v_{mp}$, $\langle v\rangle$, $v_{rms}$) hesaplayacak ve bu klasik dağılımın hangi koşulda geçerli olduğunu (nλ³ ≪ 1) göstereceksin.
Öğrenme hedefleri
- Boltzmann çarpanı $e^{-E/kT}$'den yola çıkarak Maxwell hız dağılımını $f(v)=4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2e^{-mv^2/2kT}$ biçiminde türetir ve normalizasyonunu doğrular.
- En olası hızı, ortalama hızı ve karekök-ortalama-kare hızı integrallerle hesaplar; $v_{mp}:\langle v\rangle:v_{rms}$ oranını verir.
- Enerji dağılımı $f(E)$'yi $f(v)$'den dönüştürür; en olası enerjinin $kT/2$, ortalama enerjinin $3kT/2$ olduğunu gösterir.
- Belirli bir hızın üstündeki moleküllerin oranını (kuyruk olasılığı) hesaplar ve sıcaklık, kütle bağımlılığını yorumlar.
- Eşbölüşüm teoremini kullanarak tek ve iki atomlu gazların ısı sığalarını bulur.
- Klasik (Maxwell-Boltzmann) istatistiğin geçerlilik koşulunu $n\lambda_{dB}^3\ll1$ ile nicel olarak sınar.
Konu anlatımı
Bağlam: Hızlar Rastgele, Dağılım Kesin
Boltzmann Çarpanı ve Mikrodurum Olasılığı
Maxwell Hız Dağılımının Türetilmesi
Karakteristik Hızlar: $v_{mp}$, $\langle v\rangle$, $v_{rms}$
Enerji Dağılımı ve Eşbölüşüm Teoremi
Çözümlü Örnekler
Geçerlilik Koşulu ve Sınır Durumları
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Boltzmann çarpanı (Boltzmann factor)
- Isıl dengedeki bir sistemin $E$ enerjili mikrodurumda bulunma olasılığını belirleyen $e^{-E/kT}$ çarpanı.
- Mikrodurum (microstate)
- Sistemin tüm parçacıklarının ayrıntılı kuantum (ya da klasik) durumunu belirleyen tek bir tanım.
- Maxwell hız dağılımı
- İdeal gaz moleküllerinin hız büyüklüğü olasılık yoğunluğu $f(v)=4\pi(m/2\pi kT)^{3/2}v^2e^{-mv^2/2kT}$.
- En olası hız (most probable speed)
- $f(v)$'nin tepesine karşı gelen hız: $v_{mp}=\sqrt{2kT/m}$.
- Karekök-ortalama-kare hız (rms speed)
- Hız karesinin ortalamasının karekökü, $v_{rms}=\sqrt{3kT/m}$; ortalama kinetik enerji ile $\tfrac12mv_{rms}^2=\tfrac32kT$ bağıntısını verir.
- Eşbölüşüm teoremi (equipartition theorem)
- Klasik dengede enerjiye karesel katkı veren her serbestlik derecesinin ortalama enerjisi $\tfrac12kT$'dir.
- Isıl de Broglie dalga boyu
- $\lambda_{dB}=h/\sqrt{2\pi mkT}$; parçacığın kuantum belirsizlik ölçeği.
- Klasik limit (classical limit)
- $n\lambda_{dB}^3\ll1$ olduğunda kuantum dağılımlarının Maxwell-Boltzmann biçimine indirgenmesi.
- Kuyruk olasılığı
- Belirli bir eşik hızın üstündeki moleküllerin oranı $P(v>v_0)=\text{erfc}(x_0)+\frac{2}{\sqrt\pi}x_0e^{-x_0^2}$, $x_0=v_0/v_{mp}$.
Örnek soru
$T=300\ \text{K}$'de bir azot molekülünün ($M=28.0134$ u) karekök-ortalama-kare hızı $v_{rms}$ yaklaşık kaç m/s'dir? ($k=1.381\times10^{-23}$ J/K, $1\ \text{u}=1.661\times10^{-27}$ kg)
- 422 m/s
- 517 m/s
- 476 m/s
- 731 m/s
- 258 m/s
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Molekül kütlesi: $m=28.0134\times1.661\times10^{-27}=4.652\times10^{-26}$ kg.
2. $v_{rms}=\sqrt{3kT/m}=\sqrt{\dfrac{3\times1.381\times10^{-23}\times300}{4.652\times10^{-26}}}=\sqrt{2.671\times10^5}$.
3. Sonuç: $v_{rms}\approx517$ m/s.
Çeldiriciler: 422 m/s en olası hızdır ($\sqrt{2kT/m}$), 476 m/s ortalama hızdır ($\sqrt{8kT/\pi m}$); üçü farklı niceliklerdir. 731 m/s, $\sqrt2$ çarpanı hatasıdır.