Modern Fizik · 4. Ünite: Schrödinger Denklemi
Sonlu Potansiyel Kuyusu
Gerçek potansiyel kuyuları sonsuz derin değildir: bir atom, bir kuantum kuyusu ya da bir çekirdek parçacığı yalnızca sonlu bir enerjiyle bağlıdır. Sonlu kuyuda dalga fonksiyonu klasik olarak yasak bölgeye sızar, seviyeler sonsuz kuyuya göre aşağı kayar ve bağlı durum sayısı kuyunun derinliğine ve genişliğine bağlı sonlu bir tam sayı olur. Bu konuda çift ve tek durumların bağlı durum koşullarını türetecek, grafik çözümle durum sayısını bulacak ve sızma uzunluğunu hesaplayacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Sonlu kuyunun üç bölgesinde Schrödinger denklemini çözüp $\psi$ ve $\psi'$ süreklilik koşullarından çift ($k\tan(kL/2)=\kappa$) ve tek ($-k\cot(kL/2)=\kappa$) durum koşullarını türetir.
- Boyutsuz $z$ ve $z_0$ değişkenleriyle denklemleri grafik olarak çözer; $V_0$ ve $L$ verildiğinde bağlı durum sayısını $N = \lceil 2z_0/\pi \rceil$ ile bulur.
- Yasak bölgede dalga fonksiyonunun $e^{-\kappa x}$ ile söndüğünü gösterir ve sızma uzunluğunu $\delta = 1/\kappa$ olarak hesaplar.
- Sonlu kuyunun seviyelerini aynı genişlikteki sonsuz kuyu seviyeleriyle karşılaştırır ve $E_n < E_n^\infty$ olmasını sızmayla açıklar.
- $V_0 \to \infty$ (sonsuz kuyu) ve $V_0 \to 0$ (zayıf kuyu: yine bir bağlı durum) sınır durumlarını yorumlar.
Konu anlatımı
Bağlam: Sonsuz Kuyudan Gerçek Kuyuya
Çözüm: Üç Bölge, İki Parite
Grafik Çözüm ve Bağlı Durum Sayısı
Sızma Uzunluğu ve Sonsuz Kuyuyla Karşılaştırma
Sınır Durumları
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Sonlu kare kuyu (finite square well)
- $|x|<L/2$ içinde $V=0$, dışında sonlu $V_0$ olan potansiyel.
- Bağlı durum (bound state)
- $E<V_0$ olan ve sonsuzda sıfıra giden normalize edilebilir özdurum; enerji ayrıktır.
- Yasak bölge
- $E < V$ olan, klasik olarak ulaşılamayan bölge; kuantumda $\psi \ne 0$ ve üstel sönümlüdür.
- Sızma uzunluğu (penetration depth)
- $\delta = 1/\kappa = \hbar/\sqrt{2m(V_0-E)}$; $\psi$'nin yasak bölgede $1/e$'ye düştüğü mesafe.
- Parite (parity)
- Simetrik potansiyelde özfonksiyonlar çift ($\psi(-x)=\psi(x)$) ya da tek ($\psi(-x)=-\psi(x)$).
- Transandantal denklem
- $z\tan z = \sqrt{z_0^2-z^2}$ gibi kapalı çözümü olmayan, grafik ya da sayısalla çözülen denklem.
- Boyutsuz kuyu parametresi $z_0$
- $z_0 = (L/2)\sqrt{2mV_0}/\hbar$; bağlı durum sayısı $N=\lceil 2z_0/\pi \rceil$.
- Süreklilik koşulları
- $V$ sonlu iken $\psi$ ve $d\psi/dx$ her noktada sürekli olmalıdır.
Örnek soru
Tek boyutlu sonlu kare kuyu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
- Kuyu yeterince sığ ise hiç bağlı durum kalmaz.
- Bağlı durum sayısı her zaman çifttir.
- Bağlı durum sayısı yalnızca $V_0$'a bağlıdır, $L$'den bağımsızdır.
- $V_0$ ve $L$ ne kadar küçük olursa olsun en az bir (çift) bağlı durum vardır.
- Taban durum tek paritelidir ve bir düğüme sahiptir.
Doğru cevap: D
Çözüm
1. Çift denklem $z\tan z = \sqrt{z_0^2 - z^2}$'de sol taraf $z=0$'da $0$'dan başlayıp $z=\pi/2$'de $\infty$'a çıkar; sağ taraf ise $z=0$'da $z_0 > 0$ değerinden $z=z_0$'da $0$'a iner.
2. İki sürekli eğri mutlaka kesişir: her $z_0 > 0$ için en az bir çift bağlı durum vardır.
3. $N = \lceil 2z_0/\pi \rceil$ hem $V_0$'a hem $L$'ye bağlıdır ve tek ya da çift olabilir; taban durum çifttir ve düğümsüzdür.
A, 3 boyuttaki kuyu için geçerlidir (eşik gerektirir), 1B'de değil.