Modern Fizik · 4. Ünite: Schrödinger Denklemi
Kuantum Tünelleme
Klasik fizikte enerjisi bir potansiyel bariyerinin yüksekliğinden küçük olan parçacık bariyeri aşamaz; kuantum mekaniğinde ise dalga fonksiyonu bariyer içinde üstel olarak söner ama sıfır olmaz ve bariyerin öte yanında sıfırdan farklı bir genlikle devam eder. Bu "tünelleme" olayı güneşin füzyonunu, radyoaktif $\alpha$ bozunumunu, tünel diyotlarını ve taramalı tünelleme mikroskobunu (STM) açıklar. Bu konuda basamak ve dikdörtgen bariyer için geçirgenliği türetecek, $T \approx e^{-2\kappa a}$ yaklaşımının sınırlarını öğrenecek ve gerçek uygulamalarda sayısal tahminler yapacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Basamak potansiyelinde $E > V_0$ ve $E < V_0$ için süreklilik koşullarıyla $r$, $t$, $R$ ve $T$'yi türetir; $R + T = 1$ olduğunu olasılık akısıyla gösterir.
- Dikdörtgen bariyer için $E < V_0$ iken $T = [1 + V_0^2\sinh^2(\kappa a)/4E(V_0 - E)]^{-1}$ ifadesini yorumlar ve $T \approx 16\frac{E}{V_0}\left(1 - \frac{E}{V_0}\right)e^{-2\kappa a}$ yaklaşımının geçerlilik koşulunu ($\kappa a \gg 1$) belirtir.
- Elektron, proton ve $\alpha$ parçacığı için $\kappa$, $2\kappa a$ ve $T$'yi sayısal olarak hesaplar; $E$, $V_0$, $a$ ve $m$'ye duyarlılığı üstel yasa ile açıklar.
- STM akımının uç–yüzey uzaklığına duyarlılığını ve $\alpha$ bozunumunun Gamow çarpanını tünellemeyle ilişkilendirir.
- $E > V_0$ için rezonans geçişini ($k_2a = n\pi$), $a \to 0$, $a \to \infty$ ve $E \to V_0$ sınır durumlarını yorumlar; tünelleme hakkındaki yaygın yanılgıları (enerji kaybı, ışıktan hızlı geçiş) düzeltir.
Konu anlatımı
Bağlam: Klasik Olarak Yasak Geçiş
Basamak Potansiyeli: Yansıma ve Geçirgenlik
Dikdörtgen Bariyer ve Tünelleme Olasılığı
Uygulamalar: STM, Alfa Bozunumu, Tünel Diyodu
Çözümlü Örnekler
Sınır Durumları ve Rezonanslar
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Tünelleme (quantum tunneling)
- $E < V_0$ olan bir parçacığın bariyerin öte yanında sıfırdan farklı olasılıkla bulunması.
- Geçirgenlik (transmission coefficient) $T$
- Geçen olasılık akısının gelen akıya oranı; $T + R = 1$.
- Yansıma katsayısı $R$
- Yansıyan akının gelen akıya oranı; $E < V_0$ basamağında $R=1$.
- Evanescent (sönümlü) dalga
- Yasak bölgede $e^{-\kappa x}$ ile sönen, net akı taşımayan dalga.
- Bariyer sönüm sabiti $\kappa$
- $\kappa = \sqrt{2m(V_0-E)}/\hbar$; $T \sim e^{-2\kappa a}$.
- Taramalı tünelleme mikroskobu (STM)
- Uç–yüzey tünel akımının uzaklığa $e^{-2\kappa d}$ duyarlılığıyla atomik çözünürlüklü görüntü veren cihaz.
- Gamow çarpanı
- $\alpha$ bozunumunda $T \approx e^{-2G}$, $G = \int\kappa(r)\,dr$ (Coulomb bariyeri üzerinden).
- Rezonans geçiş
- $E > V_0$ için $k_2a = n\pi$ koşulunda $T = 1$ olması.
- WKB yaklaşımı
- Yavaş değişen potansiyelde $T \approx \exp[-2\int\kappa\,dx]$.
Örnek soru
Enerjisi $E = 2{,}0\,\text{eV}$ olan bir elektron $V_0 = 5{,}0\,\text{eV}$ yüksekliğinde bir bariyere çarpıyor. Bariyer içindeki sönüm sabiti $\kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar$ kaç $\text{nm}^{-1}$'dir? ($\hbar^2/2m_e = 0{,}0381\,\text{eV}\cdot\text{nm}^2$)
- $7{,}25\,\text{nm}^{-1}$
- $11{,}5\,\text{nm}^{-1}$
- $8{,}87\,\text{nm}^{-1}$
- $78{,}7\,\text{nm}^{-1}$
- $4{,}43\,\text{nm}^{-1}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. $\kappa = \sqrt{(V_0 - E)/c}$, $c = \hbar^2/2m = 0{,}0381\,\text{eV}\cdot\text{nm}^2$.
2. $V_0 - E = 3{,}0\,\text{eV}$: $\kappa = \sqrt{3{,}0/0{,}0381} = \sqrt{78{,}7} = $ $8{,}87\,\text{nm}^{-1}$.
Çeldiriciler: $7{,}25$ yalnızca $E$'yi ($\sqrt{2/c}$), $11{,}5$ ise $V_0$'ı ($\sqrt{5/c}$) kullanır; $78{,}7$ karekök almayı unutmaktır; $4{,}43$ ise yarı değerdir.