Mühendislik Termodinamiği · 10. Ünite: Termodinamik Bağıntılar, Gaz Karışımları ve İklimlendirme (İsteğe Bağlı)
Kısmi Türevler ve Maxwell Bağıntıları
Entropi, iç enerji ve entalpi doğrudan ölçülemez; ölçülebilen yalnızca basınç, sıcaklık ve hacim ile ısınma ısılarıdır. Kısmi türevler ve Maxwell bağıntıları, ölçülemeyen büyüklüklerin türevlerini ölçülebilir $P$–$v$–$T$ verisine dönüştüren matematiksel köprüdür. Bu konunun sonunda bir hal fonksiyonunun tam diferansiyel olduğunu sınayabilecek, dört Maxwell bağıntısını Gibbs denklemlerinden türetebilecek ve ideal ile van der Waals gazlarında sayısal olarak doğrulayabileceksin.
Öğrenme hedefleri
- Bir diferansiyel ifadenin tam diferansiyel (hal fonksiyonu) olup olmadığını Euler çapraz türev koşuluyla sınar; dolaşım ve ters bağıntılarını uygular.
- $du$, $dh$, $da$ ve $dg$ ifadelerini birinci ve ikinci yasadan türetir; bunlardan dört Maxwell bağıntısını elde eder.
- Maxwell bağıntılarıyla $(\partial s/\partial v)_T$ ve $(\partial s/\partial P)_T$ türevlerini yalnızca hal denkleminden hesaplar; izotermal entropi değişimini bulur.
- Hacimsel genleşme katsayısı $\beta$ ve izotermal sıkıştırılabilirlik $\kappa_T$ cinsinden $(\partial P/\partial T)_v = \beta/\kappa_T$ bağıntısını kullanır.
- $(\partial u/\partial v)_T = T(\partial P/\partial T)_v - P$ bağıntısıyla ideal ve van der Waals gazının iç enerjisinin hacim bağımlılığını yorumlar.
Konu anlatımı
Neden Bağıntılara İhtiyaç Var?
Kısmi Türev, Tam Diferansiyel ve Üç Kural
Dört Hal Fonksiyonu: $u$, $h$, $a$, $g$
Maxwell Bağıntılarının Türetilmesi
Genleşme ve Sıkıştırılabilirlik Katsayıları
Maxwell ile İç Enerji ve Entropi: İdeal ve van der Waals Gazı
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Kısmi türev (partial derivative)
- Diğer değişkenler sabit tutularak alınan türev; sabit tutulan değişken alt indisle gösterilir.
- Tam diferansiyel (exact differential)
- İntegrali yola bağlı olmayan, bir hal fonksiyonunun diferansiyeli; Euler koşulunu sağlar.
- Euler koşulu
- $(\partial M/\partial y)_x = (\partial N/\partial x)_y$; karışık ikinci türevlerin eşitliği.
- Dolaşım kuralı (cyclic relation)
- $(\partial x/\partial y)_z(\partial y/\partial z)_x(\partial z/\partial x)_y = -1$.
- Maxwell bağıntıları
- $du$, $dh$, $da$, $dg$ tam diferansiyellerinden elde edilen dört kısmi türev eşitliği.
- Helmholtz fonksiyonu
- $a = u - Ts$; doğal değişkenleri $T$ ve $v$.
- Gibbs fonksiyonu
- $g = h - Ts$; doğal değişkenleri $T$ ve $P$; faz dengesinde iki fazda eşittir.
- Hacimsel genleşme katsayısı
- $\beta = (1/v)(\partial v/\partial T)_P$; sabit basınçta bağıl hacim artışı.
- İzotermal sıkıştırılabilirlik
- $\kappa_T = -(1/v)(\partial v/\partial P)_T$; her zaman pozitiftir.
- İç basınç (internal pressure)
- $(\partial u/\partial v)_T$; ideal gazda 0, van der Waals gazında $a/v^2$.
Örnek soru
Aşağıdaki diferansiyellerden hangisi tam diferansiyel değildir?
- $dz = y\,dx - x\,dy$
- $dz = y\,dx + x\,dy$
- $dz = 2x\,dx + 2y\,dy$
- $dz = 3x^2y\,dx + x^3\,dy$
- $dz = e^x\cos y\,dx - e^x\sin y\,dy$
Doğru cevap: A
Çözüm
1. Euler koşulu: $M = (\partial z/\partial x)_y$, $N = (\partial z/\partial y)_x$ için $(\partial M/\partial y)_x = (\partial N/\partial x)_y$ aranır.
2. $y\,dx - x\,dy$ için $\partial M/\partial y = 1$ ve $\partial N/\partial x = -1$: eşit değil.
3. Diğer dört seçenekte çapraz türevler eşittir: $1=1$; $0=0$; $3x^2 = 3x^2$; $-e^x\sin y = -e^x\sin y$.
Sonuç: $y\,dx - x\,dy$. Isı ve iş diferansiyelleri ($\delta q$, $\delta w$) de bu türdendir: yol fonksiyonu olduklarından tam değildirler.