Mühendislik Termodinamiği · 10. Ünite: Termodinamik Bağıntılar, Gaz Karışımları ve İklimlendirme (İsteğe Bağlı)
Clapeyron Denklemi ve Özellik Bağıntıları (dh, du, ds)
Faz değişimi sırasındaki gizli ısı $h_{fg}$ doğrudan ölçülemese bile doyma basıncının sıcaklıkla değişiminden hesaplanabilir; bu Clapeyron denkleminin sonucudur. Aynı Maxwell bağıntıları $du$, $dh$ ve $ds$ için genel ifadeler ve $c_p - c_v$ farkı için kesin bir formül verir. Konunun sonunda Clapeyron ile $h_{fg}$ hesaplayacak, Clausius–Clapeyron yaklaşımını doğru koşullarda kullanacak ve $c_p - c_v$ ile Joule–Thomson katsayısını $P$–$v$–$T$ verisinden bulacaksın.
Öğrenme hedefleri
- Clapeyron denklemini Maxwell bağıntısından türetir; doyma eğrisinin eğiminden $h_{fg}$ (ya da $v_{fg}$) değerini hesaplar.
- Clausius–Clapeyron yaklaşımının varsayımlarını söyler; $P_2$, $T_2$ ya da $h_{fg}$'yi hesaplar ve hatasını tablo verisiyle karşılaştırır.
- $du$, $dh$ ve $ds$ için $(T,v)$ ve $(T,P)$ cinsinden genel ifadeleri yazar; ideal gaz sınırında $c_v\,dT$, $c_p\,dT$ biçimine indirger.
- $c_p - c_v = Tv\beta^2/\kappa_T$ bağıntısını türetir; ideal gaz, sıvı su ve katı için değerini hesaplar ve işaretini yorumlar.
- Joule–Thomson katsayısını $\mu = [T(\partial v/\partial T)_P - v]/c_p$ ile hesaplar; sıcaklık değişiminin yönünü ve ters dönüşüm koşulunu açıklar.
Konu anlatımı
Gizli Isıyı Ölçmeden Hesaplamak
Clapeyron Denklemi
Clausius–Clapeyron Yaklaşımı
du, dh ve ds için Genel Bağıntılar
$c_p - c_v$ Bağıntısı
Joule–Thomson Katsayısı
Çözümlü Örnekler
Sık Yapılan Hatalar ve Kavram Yanılgıları
Anahtar terimler
- Clapeyron denklemi
- Faz değişiminde $dP/dT = h_{12}/(T v_{12})$; eğim, gizli ısıyı hacim farkıyla ilişkilendirir.
- Clausius–Clapeyron denklemi
- $v_g \gg v_f$ ve ideal gaz buhar varsayımıyla $\ln(P_2/P_1) = (h_{fg}/R)(1/T_1 - 1/T_2)$.
- Gizli ısı (latent heat)
- Sabit $T$ ve $P$'de faz değişimi için gereken $h_{fg}$ (ya da $h_{if}$).
- Doyma eğrisi eğimi
- $(dP/dT)_{sat}$; $P$–$T$ düzleminde iki fazın birlikte bulunduğu eğrinin eğimi.
- Joule yasası
- İdeal gazın $u$ ve $h$ değerinin yalnızca sıcaklığa bağlı olması.
- Özgül ısı farkı
- $c_p - c_v = Tv\beta^2/\kappa_T \geq 0$.
- Joule–Thomson katsayısı
- $\mu_{JT} = (\partial T/\partial P)_h$; sabit entalpili boğulmada sıcaklık değişimi.
- Ters dönüşüm noktası
- $\mu_{JT} = 0$ olduğu hal; $T\beta = 1$.
- Boğulma (throttling)
- Isı ve iş etkileşimi olmayan, entalpi sabit kalan akış süreci.
Örnek soru
Doymuş sıvı–buhar için Clapeyron denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
- $\left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} = \dfrac{h_{fg}}{v_{fg}}$
- $\left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} = \dfrac{T\,v_{fg}}{h_{fg}}$
- $\left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} = \dfrac{h_{fg}}{T\,v_{fg}}$
- $\left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} = \dfrac{u_{fg}}{T\,v_{fg}}$
- $\left(\dfrac{dP}{dT}\right)_{sat} = \dfrac{h_{fg}\,T}{v_{fg}}$
Doğru cevap: C
Çözüm
1. Maxwell 3: $(\partial s/\partial v)_T = (\partial P/\partial T)_v$; faz değişiminde $(\partial P/\partial T)_v = (dP/dT)_{sat}$.
2. İntegre edince $s_{fg}/v_{fg} = (dP/dT)_{sat}$ ve $s_{fg} = h_{fg}/T$.
3. Sonuç: $(dP/dT)_{sat} = \dfrac{h_{fg}}{T\,v_{fg}}$.
$u_{fg}$ yerine $h_{fg}$ gelir çünkü sabit basınçta faz değişimi ısısı entalpi farkıdır. $T$'yi paydada unutmak ya da çarpmak boyut analizi ile elenir: $h_{fg}/v_{fg}$ [kJ/m³] = kPa'dır, kPa/K değildir.