10. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Veriden Olasılığa
Bayes Teoremi
"Test %90 doğru, sonucun pozitif çıktı" cümlesini duyunca çoğumuz "büyük olasılıkla hastayım" deriz. Oysa hastalık nadirse bu sonuç çoğu zaman yanlış alarmdır. Bu konuda "hastalık varken test pozitif çıkar" bilgisiyle "test pozitifken hastalık vardır" bilgisinin farklı olduğunu görecek, bir tanı testinin ve üç fabrikalı bir üretim hattının verilerini 10 000 kişilik ya da 1000 parçalık doğal sıklıklarla ve ağaç şemasıyla düzenleyip Bayes teoremini kendi hesabınla çıkaracaksın.
Kazanımlar
- MAT.10.7.2.a. Tanı testi ve üretim hattı gibi gerçek yaşam durumlarındaki yaygınlık (önsel olasılık), duyarlılık ve özgüllük bilgilerini olasılık diliyle ifade eder.
- MAT.10.7.2.b. Toplam olasılığı, ağaç şeması ve doğal sıklık tablosu yardımıyla $P(+)=P(H)P(+|H)+P(H')P(+|H')$ biçiminde hesaplar.
- MAT.10.7.2.b. Bayes teoremini $P(H|+)=\dfrac{P(H)P(+|H)}{P(H)P(+|H)+P(H')P(+|H')}$ biçiminde yazar; iki ve üç kollu durumlarda sayısal hesap yapar.
- MAT.10.7.2.c. $P(+|H)$ ile $P(H|+)$ arasındaki farkı açıklar; yaygınlık, duyarlılık ve özgüllük değiştiğinde $P(H|+)$ değerinin nasıl değiştiğini yorumlar.
- MAT.10.7.2.c. Test sonuçlarına dayanarak (örneğin ikinci bir testin sonucuyla) ileriye yönelik yargıda bulunur; kararının gerekçesini olasılık değerleriyle sunar.
Konu anlatımı
1. Pozitif sonuç, hasta olmak demek midir?
2. Doğal sıklıkla düşünmek: 10 000 kişi
3. Ağaç şeması ve toplam olasılık
4. Bayes teoremi
5. Test özellikleri sonucu nasıl değiştirir?
6. Üç kollu durum: hangi fabrika?
7. İleriye yönelik yargı: ikinci test
8. Çözümlü örnekler
9. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Önsel olasılık (yaygınlık)
- Yeni bilgi gelmeden önce bir durumun olasılığı; tanı testinde hastalığın görülme sıklığı P(H).
- Duyarlılık
- Hastaların testte pozitif çıkma olasılığı, P(+|H).
- Özgüllük
- Sağlamların testte negatif çıkma olasılığı, P(−|H′).
- Yanlış pozitif
- Sağlam olduğu hâlde testi pozitif çıkan kişi; oranı P(+|H′) = 1 − özgüllük.
- Toplam olasılık
- Bir olayın, farklı yollardan gerçekleşme olasılıklarının toplamı: P(+) = P(H)P(+|H) + P(H′)P(+|H′).
- Bayes teoremi
- P(H|+) = P(H)P(+|H) / [P(H)P(+|H) + P(H′)P(+|H′)]; koşullu olasılığın yönünü çevirir.
- Sonsal olasılık
- Yeni bilgi (test sonucu) geldikten sonra güncellenen olasılık, P(H|+).
- Doğal sıklık
- Olasılıkları 10 000 kişi gibi gerçek sayılara çevirerek yapılan, ağaç şemasıyla uyumlu gösterim.
Örnek soru
10 000 kişilik bir grupta 500 kişi bir hastalığa sahiptir. Uygulanan testte hastaların 450'si pozitif çıkmış, sağlam kişilerden 950'si de (yanlış olarak) pozitif çıkmıştır.
Testi pozitif çıkan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı kaçtır?
- 9/200
- 9/28
- 9/19
- 1/2
- 9/10
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Pozitif çıkanlar: doğru pozitifler ve yanlış pozitifler, $450 + 950 = 1400$ kişi.
2. Bunlardan hasta olanlar 450 kişidir: $P(H|+) = \dfrac{450}{1400} = \dfrac{9}{28} \approx 0{,}32$.
3. $\dfrac{9}{200}$, 450'yi 10 000 kişiye bölmektir (koşul daraltılmamış); $\dfrac{9}{19}$ doğru pozitifi yalnız yanlış pozitife bölmektir; $\dfrac{9}{10}$ ise $450/500$, yani duyarlılıktır ve $P(+|H)$'i verir, $P(H|+)$'i değil.
Doğru cevap: B.