10. Sınıf Matematik · 7. Ünite: Veriden Olasılığa
Koşullu Olasılık ve Bağımlı-Bağımsız Olaylar
Bir zar attığını ve sonucu görmediğini düşün. "Gelen sayı çift" bilgisini alırsan 6 gelme şansın değişir mi? Torbadan çektiğin topu geri koymazsan ikinci çekilişin şansı neden değişir? Bu konuda bir olayın gerçekleştiği bilgisinin başka bir olayın olasılığını nasıl etkilediğini örnek uzayın daralması, ağaç şeması ve iki yönlü tablo üzerinden inceleyecek, koşullu olasılığı hesaplayacak ve iki olayın bağımlı mı bağımsız mı olduğuna kendi hesabınla karar vereceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.7.1.a. Geri konmadan torbadan top çekme gibi deneylerde bir olayın gerçekleşmesinin diğerinin olasılığını değiştirdiği durumları fark eder ve mevcut olasılık bilgisiyle varsayımda bulunur.
- MAT.10.7.1.b. Bir olayın gerçekleşmesine bağlı olan durumlardaki bütün çıktıları liste, ağaç şeması ve iki yönlü tabloyla gösterir.
- MAT.10.7.1.c. Koşul olayı biliniyorken örnek uzayın daraldığını görerek istenen durumların sayısını koşul olayının çıktı sayısıyla karşılaştırır.
- MAT.10.7.1.ç. $P(A|B)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)}=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ ilişkisini ve $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$ çarpma kuralını sunar, hesaplamalarda kullanır.
- MAT.10.7.1.d. $P(A|B)=P(A)$ ölçütüyle iki olayın bağımsız mı bağımlı mı olduğunu belirler; $P(A|B)$ ile $P(B|A)$'nın genellikle farklı olduğunu açıklar; gerçek yaşam durumlarını koşullu olasılıkla değerlendirir.
Konu anlatımı
1. Bilgi, olasılığı değiştirir
2. Koşullu olasılık: örnek uzay daralır
3. Ağaç şeması ve çarpma kuralı
4. İki yönlü tablo
5. Bağımlı ve bağımsız olaylar
6. Gerçek yaşamda koşullu olasılık
7. Çözümlü örnekler
8. Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Koşullu olasılık
- B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının olasılığı; P(A|B) = n(A∩B) / n(B) = P(A∩B) / P(B).
- Daralan örnek uzay
- Koşul olayı bilindiğinde olası çıktıların yalnızca koşul olayındaki çıktılara inmesi.
- Çarpma kuralı
- İki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı: P(A∩B) = P(A)·P(B|A).
- Bağımsız olaylar
- Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmeyen olaylar; P(A|B) = P(A) ve P(A∩B) = P(A)·P(B).
- Bağımlı olaylar
- Birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştiren olaylar; P(A|B) ≠ P(A).
- Ağaç şeması
- Aşamalı deneyleri dallarla gösteren şema; bir yol boyunca olasılıklar çarpılır.
- İki yönlü tablo
- İki kategorik değişkenin birlikte dağılımını satır ve sütunlarda gösteren tablo; koşullu olasılıklar satır veya sütun toplamına oranlanarak bulunur.
- Geri koyarak / geri koymadan çekiliş
- Geri koymada çekilişler bağımsızdır; geri koymadan çekilişte torbanın içeriği değiştiği için bağımlıdır.
Örnek soru
Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Art arda iki top, çekilen top geri konmadan çekiliyor.
İlk çekilen top kırmızı olduğuna göre ikinci topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
- 5/14
- 3/7
- 1/2
- 4/7
- 5/8
Doğru cevap: D
Çözüm
1. İlk top kırmızı çekildi ve geri konmadı; torbada 4 kırmızı ve 3 mavi, toplam 7 top kalır.
2. İkinci topun kırmızı olma olasılığı $\dfrac47$.
3. $\dfrac58$ top geri konmuş gibi hesaplamaktır; $\dfrac5{14}$ ise iki topun birden kırmızı olma olasılığıdır ($\dfrac58\cdot\dfrac47$), koşullu olasılık değildir; $\dfrac37$ ikinci topun mavi olma olasılığıdır.
Doğru cevap: D.