10. Sınıf Matematik · 1. Ünite: Geometrik Şekiller
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar
Bir binanın boyunu ölçmeden, yalnızca uzaklığı ve tepeyi görme açısını bilerek bulabilir misin? Dik üçgende kenar oranları, açıya bağlı sabit sayılardır ve bu sayılar sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant olarak adlandırılır. Bu konuda oranların neden boydan bağımsız olduğunu benzerlikle göreceksin, 30°-45°-60° için kesin değerleri bulacaksın, temel özdeşlikleri çıkaracaksın ve birim çember modeliyle geniş açılara geçeceksin.
Kazanımlar
- MAT.10.1.1. Dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant oranlarını kenar uzunluklarından hesaplar.
- MAT.10.1.1. Benzer dik üçgenlerde oranların eşit olduğunu gösterir ve oranların yalnızca açıya bağlı olduğunu açıklar.
- MAT.10.1.1. 30°, 45° ve 60° için trigonometrik oranları eşkenar ve ikizkenar dik üçgenden elde eder.
- MAT.10.1.1. sin²x + cos²x = 1, tan x = sin x / cos x ve tan x · cot x = 1 özdeşliklerini çıkarır ve problemlerde kullanır.
- MAT.10.1.1. Birim çember ve yönlü açı modelini kullanarak 0°–360° arası açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin işaretini ve değerini belirler.
- MAT.10.1.1. Trigonometrik oranları yükseklik ve uzaklık içeren gerçek yaşam problemlerinde kullanır.
Konu anlatımı
Ölçmeden yükseklik bulmak
Dik üçgende sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant
30°, 45° ve 60° için kesin değerler
Temel özdeşlikler
Birim çember ve yönlü açı
Çözümlü örnekler
Keşfet, varsay, sına
Sık yapılan hatalar ve kavram yanılgıları
Anahtar terimler
- Hipotenüs
- Dik üçgende dik açının karşısındaki ve en uzun olan kenar.
- Karşı kenar / komşu kenar
- Bir dar açının karşısındaki kenara karşı kenar, o açıya komşu olan hipotenüs olmayan kenara komşu kenar denir.
- Sinüs, kosinüs
- Dik üçgende karşı kenarın hipotenüse oranı sinüs, komşu kenarın hipotenüse oranı kosinüstür.
- Tanjant, kotanjant
- Karşı kenarın komşuya oranı tanjant, komşunun karşıya oranı kotanjanttır.
- Trigonometrik özdeşlik
- Tanımlı olduğu her açı için doğru olan eşitliktir; sin²x + cos²x = 1 örnektir.
- Birim çember
- Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 olan çemberdir.
- Yönlü açı
- Başlangıç kolundan son kola saat yönünün tersine ölçülen (pozitif) açıdır.
- Tamamlayan açılar
- Ölçüleri toplamı 90° olan iki dar açıdır.
Örnek soru
$B$ köşesinde dik açı bulunan $ABC$ üçgeninde $|AB|=6$ cm ve $|BC|=8$ cm'dir. $\sin A$ değeri kaçtır?
- $\dfrac35$
- $\dfrac45$
- $\dfrac34$
- $\dfrac43$
- $\dfrac54$
Doğru cevap: B
Çözüm
1. Hipotenüs $|AC|=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm.
2. $A$'nın karşısındaki kenar $|BC|=8$; $\sin A=\dfrac{8}{10}=\dfrac45$.
3. Diğer değerler: $\cos A=\dfrac35$, $\tan A=\dfrac43$, $\cot A=\dfrac34$.
Doğru cevap: B. $\dfrac35$ kosinüs, $\dfrac43$ tanjant, $\dfrac54$ ise sinüsün tersidir.